1 ответ:
Читайте также
Первые три члена ряда: ![\frac{3x}{2 \sqrt[3]{2} } ;\,\, \frac{9x^2}{4 \sqrt[3]{3} } ;\,\,\,\, \frac{27x^3}{8 \sqrt[3]{4} }](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2+%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D+%7D+%3B%5C%2C%5C%2C+%5Cfrac%7B9x%5E2%7D%7B4+%5Csqrt%5B3%5D%7B3%7D+%7D+%3B%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C+%5Cfrac%7B27x%5E3%7D%7B8+%5Csqrt%5B3%5D%7B4%7D+%7D+)
Найдем радиус сходимости, используя признак Даламбера
![R= \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n2^{n+1} \sqrt[3]{n+2} }{3^{n+1}2^n \sqrt[3]{n+1} } = \frac{2}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=R%3D+%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7Ba_n%7D%7Ba_%7Bn%2B1%7D%7D+%3D+%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B3%5En2%5E%7Bn%2B1%7D+%5Csqrt%5B3%5D%7Bn%2B2%7D+%7D%7B3%5E%7Bn%2B1%7D2%5En+%5Csqrt%5B3%5D%7Bn%2B1%7D+%7D+%3D+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+)
Тогда интервал сходимости ряда:
⇒ 
Исследуем теперь ряд на концах интервала
Если х=-2/3 то ряд примет вид:
![\displaystyle \sum^\infty_{n=1} \frac{(-1)^n}{ \sqrt[3]{n+1} }](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+%5Csum%5E%5Cinfty_%7Bn%3D1%7D+%5Cfrac%7B%28-1%29%5En%7D%7B+%5Csqrt%5B3%5D%7Bn%2B1%7D+%7D+)
А этот ряд сходится условно по признаку Лейбница.
Если х=2/3, то имеем сумму ряда![\displaystyle \sum^\infty_{n=1} \frac{1}{ \sqrt[3]{n+1} }](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+%5Csum%5E%5Cinfty_%7Bn%3D1%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%5B3%5D%7Bn%2B1%7D+%7D+)
который является расходящимся.
Степенной ряд является сходящимся при
Найдем радиус сходимости, используя признак Даламбера
Тогда интервал сходимости ряда:
Исследуем теперь ряд на концах интервала
Если х=-2/3 то ряд примет вид:
А этот ряд сходится условно по признаку Лейбница.
Если х=2/3, то имеем сумму ряда
Степенной ряд является сходящимся при