Question

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, с производной
кубический корень из ctg1/x
и с пределами
1. lim x*sinx/(cos6x-1), x->0
2. lim (x+1)(ln(2x+5)-ln2x), x->+бесконечности

с подробным решением

Answer 1

Ии$y=\sqrt[3]{ctg\frac{1}{x}}=(ctg\frac{1}{x})^{\frac{1}{3}}\\\\y'=\frac{1}{3}(ctg\frac{1}{x})^{-\frac{2}{3}}\cdot \frac{-1}{sin^2x}\\\\2)\; lim_{x\to 0}\frac{xsinx}{cos6x-1}=lim\frac{x\cdot x}{-2sin^23x}=lim\frac{x^2}{-2\cdot 9x^2}=-\frac{1}{18}\\\\3)\; lim_{x\to \infty}\frac{x+1}{ln(2x+5)-ln2x}=lim\frac{x+1}{ln\frac{2x+5}{2x}}=lim\frac{x+1}{ln(1+\frac{5}{2x})}=\\\\=lim_{x\to \infty}(x+1)\cdot \frac{1}{ln(1+\frac{5}{2x})}=[\infty\cdot \frac{1}{0}=\infty\cdot \infty]=\infty$

$[\frac{5}{2x}\to 0,\; ln(1+0)=ln1=0]$