<em>Высота 8 см, отрезок 17 см и проекция отрезка на плоскость образуют прямоугольный треугольник, в котором высота между плоскостями и проекция являются катетами, а отрезок - гипотенузой.</em>
<em>Пусть х - проекция отрезка на каждую из плоскостей (так как они равны).</em>
<em>По теореме Пифагора составим уравнение:</em>
<em>х² + 8² = 17²</em>
<em>х² = 17² - 8²</em>
<em>х² = 289 - 64</em>
<em>х² = 225</em>
<em>х = 15 (см) - проекция отрезка на каждую из плоскостей.</em>
<em>Ответ: 15 см.</em>
Примем ребро куба равным 1.
Искомый угол будет между ребром АА1 и его проекцией на плоскость АВ1Д1.
Эта проекция лежит на отрезке АК, где К - середина диагонали В1Д1.
Имеем прямоугольный треугольник АА1К,
А1К = (1/2)*√2 = √2/2.
АК = √((АА1)²+(А1К)²) = √(1+(2/4)) =√(6/4) = √6/2.
Косинус угла КАА1 равен:
cos(AA1K) = AA1/AK =1/(√6/2) = 2/√6 = √6/3.
Ответ: <span>косинус угла между ребром AA1 и плоскостью AB1D1 равен </span>√6/3.<span>
</span>
Две пересекающиеся прямые ОР и OF задают плоскость, которая пересекает параллельные плоскости α и β по параллельным прямым.
Значит, F₁P₁ и F₂P₂ параллельны и лежат в одной плоскости с точкой О.
Рассмотрим треугольники ОF₁P₁ и ОF₂P₂:
угол при вершине О - общий;
∠ОF₁P₁ = ∠ОF₂P₂ как соответственные при пересечении параллельных прямых F₁P₁ и F₂P₂ секущей OF, значит
ΔОF₁P₁ подобен ΔОF₂P₂ по двум углам.
ОP₁ : ОР₂ = F₁P₁ : F₂P₂
ОP₁ = х, ОP₂ = х + 4
x : (x + 4) = 3 : 5
5x = 3(x + 4)
5x = 3x + 12
2x = 12
x = 6
ОP₁ = 6 см