Надо использовать формулу:
sin α*sin β = (1/2)[cos(α-β) - cos(α+β)].
sin(10x)sin(2x)=sin(8x)sin(4x) (1/2)[cos(10x-2x) - cos(10x+2x)] = (1/2)[cos(8x-4x) - cos(8x+4x)]
(1/2)[cos(8x) - cos(12x)] = (1/2)[cos(4x) - cos(12x)]
После сокращения получаем:
cos(8x) = cos(4x)
cos(8x) = 2cos²(4x) - 1
Подставив вместо cos(8x) равное ему 2cos²(4x) - 1, получаем квадратное уравнение: 2cos²(4x) - cos(4x) - 1 = 0.
Если заменить cos(4x) = у, получим 2у² - у - 1 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y:
Ищем дискриминант:D=(-1)^2-4*2*(-1)=1-4*2*(-1)=1-8*(-1)=1-(-8)=1+8=9;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
y_1=(√9-(-1))/(2*2)=(3-(-1))/(2*2)=(3+1)/(2*2)=4/(2*2)=4/4=1;
y_2=(-√<span>9-(-1))/(2*2)=(-3-(-1))/(2*2)=(-3+1)/(2*2)=-2/(2*2)=-2/4=-0,5.
</span>Обратная замена: cos(4x) = 1
4х = Arc cos 1 = 2πn
x₁ = 2πn / 4 = πn / 2
cos(4x) = -0,5
4x = Arc cos (-0,5) =
Заметим, что каждая дробь представима в виде:
![\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \cdot ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} )](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%28n%2B2%29%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Ccdot+%28+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%2B2%7D+%29)
Тогда заменим дроби соответсвующими суммами:
![\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 5} + \frac{1}{5\cdot 7} +...+ \frac{1}{2011\cdot 2013} + \frac{1}{2013\cdot 2015} =\\\\=\frac{1}{2}\cdot ( (\frac{1}{1} - \frac{1}{3} )+ (\frac{1}{3} - \frac{1}{5} )+( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} )+...+( \frac{1}{2011} - \frac{1}{2013} )+](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7B1%5Ccdot+3%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%5Ccdot+5%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B5%5Ccdot+7%7D+%2B...%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2011%5Ccdot+2013%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2013%5Ccdot+2015%7D+%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot+%28+%28%5Cfrac%7B1%7D%7B1%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%29%2B+%28%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D+%29%2B%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B7%7D+%29%2B...%2B%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B2011%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B2013%7D+%29%2B)
![+( \frac{1}{2013} - \frac{1}{2015} ))=\frac{1}{2}\cdot (1-\frac{1}{2015})=\frac{1}{2}\cdot \frac{2014}{2015}= \frac{1007}{2015}](https://tex.z-dn.net/?f=%2B%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B2013%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B2015%7D+%29%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot+%281-%5Cfrac%7B1%7D%7B2015%7D%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot+%5Cfrac%7B2014%7D%7B2015%7D%3D+%5Cfrac%7B1007%7D%7B2015%7D+)
A) = x² - 4y² + 4y²=x²
б) = 4a² - 9b² - 3a²=a²-9b²=(a-3b)(a+3b)
в) = 5x²-10x+1+10x=5x²+1
г) = 9y² + 24zy+ 16z² - 24zy + 16z²=9y²+32x²
д) = m³ - 2n³ + 6n³ = m³+4n³
e) =с^6+4d^6 - c^6 + c^2= 4d^6 + c²
ж) = 9x² - 24xy + 16y² - 8x²-4xy+28xy+14y²=9x² - 8x² + 16y²+14y²= x²+30y²
з) =2x(4x²+12x+9) - (8x³+12x²<u>+18x</u>-12x²<u>-18x</u>-27) = <u>8x</u>³+24x²+18x<u> - 8x</u>³+27=24x²+18x+27= 3(8x²+6x+9)