№1
Применяем формулу
![sin \alpha \cdot cos \beta = \frac{1}{2} (sin ( \alpha + \beta )+sin( \alpha - \beta ))](https://tex.z-dn.net/?f=sin+%5Calpha+%5Ccdot+cos+%5Cbeta+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%28sin+%28+%5Calpha+%2B+%5Cbeta+%29%2Bsin%28+%5Calpha+-+%5Cbeta+%29%29)
![\frac{1}{2} (sin (4x+2x)+sin(4x-2x)) - \frac{1}{2}( sin (5x+x)+sin (5x-x))=0](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%28sin+%284x%2B2x%29%2Bsin%284x-2x%29%29+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%28+sin+%285x%2Bx%29%2Bsin+%285x-x%29%29%3D0)
Умножим на 2:
sin 6x+sin2x-sin6x-sin 4x=0,
sin2x-sin4x=0,
sin2x-2·sin2x·cos2x=0,
sin2x(1-2cos2x)=0
Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен 0, а другой при этом не теряет смысла. В данном уравнении оба множителя определены при всех х.
sin2x=0 ⇒ 2x=πn, n∈Z ⇒ x=πn/2, n∈<span>Z</span>;
или
1-2сos2x=0 ⇒ cos 2x=1/2 ⇒ 2x=± π/3 + 2πk, k ∈Z ⇒
x=<span>± π</span>/6 + πk, k∈Z
Ответ. x=πn/2, n∈Z или ;x=± π/6 + πk, k∈Z
№2.
Применяем формулу косинуса двойного угла : cos x= cos²(x/2)-sin²(x/2)
и основное тригонометрическое тождество 1=sin²(x/2) + cos²(x/2)
4 sin (x/2) - cos²(x/2)+sin²(x/2) +sin²(x/2)+cos²(x/2)=0,
4 sin (x/2)+2 sin²(x/2)=0,
2 sin (x/2) (2+sin(x/2)=0
Так как синус ограниченная функция и -1≤ sin (x/2) ≤1,то
1≤ 2+sin (x/2) ≤3
получили, что 2+ sin (x/2)>1 и значит равняться нулю может только первый множитель:
sin (x/2)=0 ⇒ (x/2)=πk, k∈<span>Z</span> ⇒ x = 2πk, k∈ <span>Z
</span>Ответ
x = 2πk, k∈ <span>Z</span>