Question

Докажите, что для любого натурального числа n справедливо неравенство

Answer 1

$\frac{2}{(n+2)^2}=\frac{2}{n^2+4n+4}\\\\\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}=\frac{n+3-n-1}{(n+1)(n+3)}=\frac{2}{n^2+4n+3}\\\\n^2+4n+4\ \textgreater \ n^2+4n+3, \; t.k.\; \; \; (n^2+4n)+4\ \textgreater \ (n^2+4n)+3$

Если числители дробей равны, то та дробь меньше, у которой знаменатель больше, поэтому

$\frac{2}{n^2+4n+4}\ \textless \ \frac{2}{n^2+4n+3}\; \; \Rightarrow \; \; \frac{2}{(n+2)^2}\ \textless \ \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}$