4+5+6=15 частей
45/15=3 ед на часть
3*4=12 наименьшее число
1,5п = 3п/2 < 1,6п < 2п - IV четверть
п/2 < 5п/9 < п - II четверть .
Докажем более общее утверждение, откуда и получим нужный результат.
Вначале для удобства докажем лемму:
Лемма 1:
Для всех
![a\ \textgreater \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=a%5C+%5Ctextgreater+%5C+0)
,
![\displaystyle \lim _{n\to \infty} \sqrt[n]{a} =1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+%5Clim+_%7Bn%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D+%3D1)
.
Доказательство:
Предположим поначалу что
![a \geq 1](https://tex.z-dn.net/?f=a+%5Cgeq+1)
. Обозначим
![a_n= \sqrt[n]{a} -1](https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3D+%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D+-1)
и докажем что
![\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n =0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D+a_n+%3D0)
.
Используя неравенство Бернулли получаем,
![\displaystyle a=(1+a_n)^n \geq 1+na_n\ \textgreater \ na_n](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+a%3D%281%2Ba_n%29%5En++%5Cgeq+1%2Bna_n%5C+%5Ctextgreater+%5C+na_n+)
(для всех
![n\in \mathbb N](https://tex.z-dn.net/?f=n%5Cin+%5Cmathbb+N)
)
Следовательно,
![\displaystyle 0 \leq a_n \ \textless \ \frac{a}{n}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+0+%5Cleq+a_n+%5C+%5Ctextless+%5C++%5Cfrac%7Ba%7D%7Bn%7D+)
Откуда из теоремы о двух милиционерах выводим,
![\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n =0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D+a_n+%3D0)
Следовательно,
![\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = \lim_{n \to \infty} (1+a_n )=1+ \lim_{n \to \infty} a_n =1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D+%3D+%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D+%281%2Ba_n+%29%3D1%2B+%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D+a_n+%3D1)
Что и требовалось.
Осталось доказать лемму для
![0\ \textless \ a\ \textless \ 1](https://tex.z-dn.net/?f=0%5C+%5Ctextless+%5C+a%5C+%5Ctextless+%5C+1)
.
Так как
![\displaystyle 1/a\ \textgreater \ 1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++1%2Fa%5C+%5Ctextgreater+%5C+1+)
, мы можем воспользоваться уже тем что доказали ранее:
![\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ \sqrt[n]{a} } = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{1}{a} } = 1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D+%7D+%3D+%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Csqrt%5Bn%5D%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D+%7D+%3D+1)
Откуда получаем,
![\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ \frac{1}{ \sqrt[n]{a} } } = \frac{1}{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ \sqrt[n]{a} } } = \frac{1}{1}=1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D++%3D+%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D+%7D+%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D+%7D++%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B1%7D%3D1+)
Ч.Т.Д.
Утверждение: Пусть
![\displaystyle a_1,a_2,...,a_k \geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+a_1%2Ca_2%2C...%2Ca_k+%5Cgeq+0)
, тогда
Доказательство:Пусть
![1 \leq r \leq k](https://tex.z-dn.net/?f=1+%5Cleq+r+%5Cleq+k)
число выполняющее
![a_r=\max\{a_1,a_2,a_3,...,a_k\}](https://tex.z-dn.net/?f=a_r%3D%5Cmax%5C%7Ba_1%2Ca_2%2Ca_3%2C...%2Ca_k%5C%7D)
.
Для всех
![n\in \mathbb N](https://tex.z-dn.net/?f=n%5Cin+%5Cmathbb+N)
выполняется,
![a_{1}^n+a_2^n+...+a_k^n \geq a_r^n](https://tex.z-dn.net/?f=a_%7B1%7D%5En%2Ba_2%5En%2B...%2Ba_k%5En+%5Cgeq+a_r%5En)
А также,
![a_1^n+a_2^n+...+a_k^n \leq k\cdot \max\{a_1,a_2,...,a_k\}=k\cdot a_r^n](https://tex.z-dn.net/?f=a_1%5En%2Ba_2%5En%2B...%2Ba_k%5En+%5Cleq+k%5Ccdot+%5Cmax%5C%7Ba_1%2Ca_2%2C...%2Ca_k%5C%7D%3Dk%5Ccdot+a_r%5En)
Следовательно,
![\displaystyle \sqrt[n]{a_r^n} \leq \sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_k^n } \leq \sqrt[n]{k\cdot a_r^n}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba_r%5En%7D++%5Cleq++%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba_1%5En%2Ba_2%5En%2B...%2Ba_k%5En+%7D+%5Cleq++%5Csqrt%5Bn%5D%7Bk%5Ccdot+a_r%5En%7D+)
То есть,
![a_r \leq \sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_k^n} \leq \sqrt[n]{k} \cdot a_r](https://tex.z-dn.net/?f=a_r+%5Cleq++%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba_1%5En%2Ba_2%5En%2B...%2Ba_k%5En%7D++%5Cleq++%5Csqrt%5Bn%5D%7Bk%7D+%5Ccdot+a_r)
Из
Леммы 1 следует:
![\displaystyle \lim_{n \to \infty} ( \sqrt[n]{k}\cdot a_r )=a_r\cdot \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{k}=a_r](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D+%28+%5Csqrt%5Bn%5D%7Bk%7D%5Ccdot+a_r+%29%3Da_r%5Ccdot++%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Csqrt%5Bn%5D%7Bk%7D%3Da_r+)
Откуда при помощи теоремы о двух милиционерах получаем,
![\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_k^n}=a_r=\max\{a_1,a_2,...,a_k\}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D+%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba_1%5En%2Ba_2%5En%2B...%2Ba_k%5En%7D%3Da_r%3D%5Cmax%5C%7Ba_1%2Ca_2%2C...%2Ca_k%5C%7D)
Ч.Т.Д.
Теперь с легкостью находим нужный нам предел:
![\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^n+3^n}=\max\{2,3\} =3](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Csqrt%5Bn%5D%7B2%5En%2B3%5En%7D%3D%5Cmax%5C%7B2%2C3%5C%7D+%3D3)