Начнём с самого простого ,с нашего ОДЗ:
![64x\ \textgreater \ 0\\log_4(x)-3 \neq 0\\x\ \textgreater \ 0\\log_4(64x) \neq 0\\x^4\ \textgreater \ 0\\log_4^2(x) \neq 0\\log_4^2(x)-9 \neq 0\\.....................................................................\\x\ \textgreater \ 0\\x \neq 64\\x \neq \frac{1}{64} \\x∈R\{0} \\x \neq 64\\x \neq \frac{1}{64}](https://tex.z-dn.net/?f=64x%5C+%5Ctextgreater+%5C++0%5C%5Clog_4%28x%29-3+%5Cneq+0%5C%5Cx%5C+%5Ctextgreater+%5C+0%5C%5Clog_4%2864x%29+%5Cneq+0%5C%5Cx%5E4%5C+%5Ctextgreater+%5C+0%5C%5Clog_4%5E2%28x%29+%5Cneq+0%5C%5Clog_4%5E2%28x%29-9+%5Cneq+0%5C%5C.....................................................................%5C%5Cx%5C+%5Ctextgreater+%5C+0%5C%5Cx+%5Cneq+64%5C%5Cx+%5Cneq++%5Cfrac%7B1%7D%7B64%7D+%5C%5Cx%E2%88%88R%5C%7B0%7D+%5C%5Cx+%5Cneq+64%5C%5Cx+%5Cneq++%5Cfrac%7B1%7D%7B64%7D+)
На прямой отмечаем точки и ищем интервалы ,получаем:
x∈(
![0; \frac{1}{64}](https://tex.z-dn.net/?f=0%3B+%5Cfrac%7B1%7D%7B64%7D+)
)∪(
![\frac{1}{64} ;64](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7B64%7D+%3B64)
)∪(64;+∞)
Теперь мы вспомним свойства логарифмов ,аргумент 64x можно представить в виде суммы двух логарифмов ,так же вспомним
![4^1=4\\4^2=16\\4^3=64](https://tex.z-dn.net/?f=4%5E1%3D4%5C%5C4%5E2%3D16%5C%5C4%5E3%3D64)
Это нам пригодиться .
Так же вспомним одну формулу :
![log_a(b^x)=xlog_a(b)](https://tex.z-dn.net/?f=log_a%28b%5Ex%29%3Dxlog_a%28b%29)
Всё вспомнили ,можем приступать.
![\frac{log_4(64)+log_4(x)}{log_4(x)-3} + \frac{log_4(x)-3}{log_4(64)+log_4(x)} \geq \frac{4log_4(x)+16}{log_4^2(x)-9} \\ \frac{3+log_4(x)}{log_4(x)-3} + \frac{log_4(x)-3}{3+log_4(x)} \geq \frac{4log_4(x)+16}{log_4^2(x)-9}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7Blog_4%2864%29%2Blog_4%28x%29%7D%7Blog_4%28x%29-3%7D+%2B+%5Cfrac%7Blog_4%28x%29-3%7D%7Blog_4%2864%29%2Blog_4%28x%29%7D++%5Cgeq++%5Cfrac%7B4log_4%28x%29%2B16%7D%7Blog_4%5E2%28x%29-9%7D+%5C%5C+%5Cfrac%7B3%2Blog_4%28x%29%7D%7Blog_4%28x%29-3%7D+%2B+%5Cfrac%7Blog_4%28x%29-3%7D%7B3%2Blog_4%28x%29%7D++%5Cgeq++%5Cfrac%7B4log_4%28x%29%2B16%7D%7Blog_4%5E2%28x%29-9%7D+)
Упростив данное неравенство ,мы видим ,что можно сделать замену ,так сделаем ,чтобы ещё больше упростить.
![log_4(x)=t\\ \frac{3+t}{t-3} + \frac{t-3}{3+t} \geq \frac{4x+16}{t^2-9} \\t^2-9=(t-3)(t+3)\\ \frac{(3+t)^2+(t-3)^2-(4t+16)}{(t-3)(t+3)} \geq 0\\ \frac{9+6t+t^2+t^2-6t+9-4t-16}{(t-3)(3+t)} \geq 0\\ \frac{2+2t^2-4t}{(t-3)(t+3)} \geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=log_4%28x%29%3Dt%5C%5C+%5Cfrac%7B3%2Bt%7D%7Bt-3%7D+%2B+%5Cfrac%7Bt-3%7D%7B3%2Bt%7D++%5Cgeq++%5Cfrac%7B4x%2B16%7D%7Bt%5E2-9%7D+%5C%5Ct%5E2-9%3D%28t-3%29%28t%2B3%29%5C%5C+%5Cfrac%7B%283%2Bt%29%5E2%2B%28t-3%29%5E2-%284t%2B16%29%7D%7B%28t-3%29%28t%2B3%29%7D++%5Cgeq+0%5C%5C+%5Cfrac%7B9%2B6t%2Bt%5E2%2Bt%5E2-6t%2B9-4t-16%7D%7B%28t-3%29%283%2Bt%29%7D++%5Cgeq+0%5C%5C+%5Cfrac%7B2%2B2t%5E2-4t%7D%7B%28t-3%29%28t%2B3%29%7D++%5Cgeq+0)
Вот мы получили простое неравенство ,но давайте мы не будем рассматривать случаи ,так как это не рационально.Просто применим метод интервалов -числитель равен 0,знаменатель нет .Почему именно равно ,когда мы решаем неравенство? В этом и заключается решение ,чтобы разложить наш числитель и найти корни ,для того ,чтобы отметить их на прямой ,а корни знаменателя просто выколем.
![2+2t^2-4t=0\\2t^2-4t+2=0\\t^2-2x+1=0\\(x-1)^2=0\\x=1](https://tex.z-dn.net/?f=2%2B2t%5E2-4t%3D0%5C%5C2t%5E2-4t%2B2%3D0%5C%5Ct%5E2-2x%2B1%3D0%5C%5C%28x-1%29%5E2%3D0%5C%5Cx%3D1)
Нашли корень числителя ,теперь нужно просто отметить интервалы на прямой и всё.Получаем:
t∈(-∞;-3)∪(3;+∞)∪{1}
Теперь мы просто заменим "t"
Но я хочу рассмотреть каждый интервал отдельно ,но не забываю ,что когда я рассматриваю интервалы отдельно ,мне нужно потом найти объединение полученных результатах
![log_4(x)\ \textless \ -3\\x<(4)^{-3}\\x\ \textless \ \frac{1}{64} \\log_4(x)\ \textgreater \ 3\\x\ \textgreater \ 64\\log_4(x)=1\\x=4](https://tex.z-dn.net/?f=log_4%28x%29%5C+%5Ctextless+%5C+-3%5C%5Cx%3C%284%29%5E%7B-3%7D%5C%5Cx%5C+%5Ctextless+%5C++%5Cfrac%7B1%7D%7B64%7D+%5C%5Clog_4%28x%29%5C+%5Ctextgreater+%5C+3%5C%5Cx%5C+%5Ctextgreater+%5C+64%5C%5Clog_4%28x%29%3D1%5C%5Cx%3D4)
Теперь находим объединение и получаем
x∈(-∞;
![\frac{1}{64}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7B64%7D+)
)∪(64;+∞)∪{4}
А теперь остаётся самое лёгкое ,найти объединение с ОДЗ и получим наш ответ
x∈(0;
![\frac{1}{64}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7B64%7D+)
)∪(64;+∞)∪{4}