Question

В прямоугольный треугольник вписана окружность. точка касания делит гипотенузу на отрезки 3 см и 2 см. найти радиус этой окружности

Answer 1

Треугольник АВС, О-центр вписан.окруж., М-точка касания с гипотенузой АС, СМ=1, АМ=2, Е-точка касания с катетом ВС и К-точка касания с катетом АВ, СЕ=СМ=1 (отрезки, касательных к окружности, проведенных из одной точки), так же АК=АМ=2, ОЕ=ОК= радиусу окружности. ОЕ перпендикулярно к ВС (отрезок, проведенный от центра окружности к точке касания, перпендикю к данной стороне), также ОК перпендик. к ВА. угол АВС-90градусов. ВКОЕ-квадрат, где сторона равна радиусу и обозначим за х, тогда ВА=2+х, ВС=х+1, Ас=2+1=3-гипотенуза По теореме Пифагора (х+1)^2+(х+2)^2=3^2 x^2+2x+1+x^2+4x+4=9 2x^2+6x-4=0 сократим на 2 х^2+3x-2=0 дискрим Д=9+8=17 Х1=(-3+корень из 17)/2 (корень из 17 приблиз равен 4,12) х2=(-3-корень из17)/2 (отрицат. быть не может) Ответ: радиус равен (-3+корень из 17)/2