Question

Сколько разных длин у отрезков, которые были разбиты на 20 и 13 ч-й (см.)?

Алиса отметила на отрезке 19 точек, разбивающих его на 20 равных частей. Антон отметил на этом же отрезке 12 точек, разбивающих его на 13 равных частей. В результате отрезок оказался разбит на много маленьких отрезков. Сколько разных длин у этих отрезков?

а)10

б)12

в)13

г)18

д)20

Answer 1

Попробуем решить эту задачу.

Числа 19 и 12 не являются сомножителями, значит совпадений точек поставленных Алисой и Антоном не будет, все точки на отрезке будет занимать только свое место. Отрезки Антона больше отрезков Алисы, значит два отрезка точно будут иметь одну длину - это отрезки Алисы. Двенадцать точек Антона разобьют двенадцать отрезков Алисы и мы получим по паре отрезков разной длины - всего 24. Но число разных отрезков следует уменьшить вдвое, ведь например второй и предпоследний отрезки Алисы будут разбиты точками Антона одинаково и так будет везде.

Значит мы получаем 12 отрезков разной длины при разбиении отрезков Алисы и еще несколько отрезков одинаковой длины - отрезки Алисы не разбитые точками Антона. Всего получаем 13 отрезков разной длины.

Верный ответ В: 13.

Answer 2

Если Алиса отметила на отрезка 19 точек, а получила 20 отрезков, то это возможно только, если вначале отрезка и в конце отрезка точек не будет. Тоже самое и со вторым вариантом в 12 точек и 13 отрезков.

Далее можно понять, что если есть 20 отрезков и 13 отрезков, которые образуют в сумме отрезки равной длины, то 13/20 получаем, что первые отрезки составляют 0,65 от вторых отрезков, либо 65%, если за 100% принять длину вторых отрезков в количестве 13 штук.

Тогда при разбивании отрезков получатся пары -(35,30),(5,60),(40,­<wbr />25),(10,55),(45,20),(­<wbr />15,50),

а далее пойдут повтор этих же пар.

Таким образом уникальных пар будет только 12, и еще мы добавляем один отрезок, который не будет делиться (65,0).

Получаем 13 отрезков.

Ответ: Вариант в) 13.

Answer 3

Задачу такого вида лучше решать наглядно.

Для этого построим отрезок и попытаемся отметить на отрезке точки, которые отмечали Алиса и Антон. Точки не имеют общего соприкосновения.

Путем проб и ошибок мы посчитали , сколько отрезков у нас получилось разной длины и в итоге вышли на количество - 13.

Answer 4

Рисовала на бумаге в клеточку эти отрезки, времени на решение у меня ушло очень много, не знаю, как дети будут решать это задание в условиях олимпиадного цейтнота, поэтому не буду рассказывать про свои раздумья над задачей, а просто дам правильный ответ.

Ответ: 13 (вариант В).