Если противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны, то апофемы этих граней с отрезком основания, равным стороне квадрата, образуют равнобедренный прямоугольный треугольник. Отсюда следует, что высота пирамиды равна половине стороны основания.
1) Пусть середины рёбер MA и MB - это точки Е и К.
Отрезок ЕК как средняя линия боковой грани параллелен стороне основания АВ и, следовательно, стороне СД.
Из задания вытекает, что плоскость альфа пересекает боковую грань ВМС по линии, параллельной ребру МС.
А из приведенного выше рассуждения следует, что основание пересекается по линии РТ, параллельной стороне квадрата.
По подобию определяем, что точка пересечения плоскостью альфа стороны ВС (это точка Р) - середина ВС.
Так как 2 стороны угла ДСМ боковой грани параллельны плоскости альфа, то и ребро МД этой грани тоже параллельно плоскости альфа.
2) Примем длину стороны квадрата основания за 4 (для кратности).
Высота пирамиды равна 2. Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат вершиной Д в начало, ДА - по оси Ох, ДС - по оси Оу.
Определяем координаты точек: А и С для прямой АС и точек ЕКР для плоскости альфа.
А = (4; 0; 0), С = (0; 4; 0). Направляющий вектор АС = (-4; 4; 0).
Находим уравнение плоскости альфа по координатам точек Е, К и Р.
Е = (3; 1; 1), К = (3; 3; 1), Р = (2; 4; 0).
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - x1 y - y1 z - z1 = 0
x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1
x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1
x - 3 y - 1 z - 1 = 0
3 - 3 3 - 1 1 - 1
2 - 3 4 - 1 0 - 1
x - 3 y - 1 z - 1 = 0
0 2 0
-1 3 -1
(x-3)(2·(-1)-0·3) - (y - 1)(0· (-1)-0·(-1)) + (z - 1)(0·3-2·(-1)) = 0
(-2) (x - 3) + 0(y - 1) + 2(z - 1) = 0
- 2 x + 2z + 4 = 0 или, сократив на -1, имеем: x - z - 2 = 0.
sin φ = |cos ψ| = | s · q | | s |·| q | =
= | sx · qx + sy · qy + sz · qz | /√(sx² + sy² + sz²) · √(qx² + qy² + qz²) =
= | 1 · (-4) + 0 · 4 + (-1) · 0 | /√(1² + 0² + (-1)²) · √((-4)² + 4² + 0²) =
= | -4 + 0 + 0 |/√(1 + 0 + 1) · √(16 + 16 + 0) =
= 4 /(√2 · √32) = 4 /√64 = 0,5.
φ = 30°.
