Слово Распутник относится к мужскому роду: Распутник - он мой. Это существительное второго склонение, которое обладает нулевым окончанием: Распутник-Распутника<wbr />-Распутнику-Распутник<wbr />а-Распутником-Распутн<wbr />ике.
Однокоренными словами оказываются: Распутник-Распутница<wbr />-Распутный-Путный-Пут<wbr />ь.
Следовательно корнем слова будет морфема -пут-
Далее выделим в составе слова приставку рас- и суффикс существительного -ник.
Получаем: рас-пут-ник_ (приставка-корень-су<wbr />ффикс-нулевое окончание), основа слова: распутник.
Слово Распутье оказывается существительным среднего рода: Распутье - оно мое. Это слово обладает окончанием -а: Распутье-Распутья-Ра<wbr />спутью-Распутье-Распу<wbr />тьем-Распутье.
Однокоренными словами оказываются: Распутица-Распутье-П<wbr />ерепутье-Путевой-Путн<wbr />ик-Путь.
Следовательно корнем слова будет морфема -путь-.
Далее выделим в составе слова приставку рас-, и суффикс существительного -й-.
Получаем: рас-путь-й-е (приставка-корень-су<wbr />ффикс-окончание), основа слова: распуть-.
Вывод: Эти слова однокоренные.