Question

Как сравнить эту дробь 5/3+√6 +5/3-√6 и √101
И пожалуйста дайте подробное решение. Буду очень благодарен, если научите решать подобные задания.

Answer 1

Рассмотрим :

$\frac{5}{3+\sqrt{6} } + \frac{5}{3- \sqrt{6} }$

Для начала нужно избавиться от иррациональности в знаменателе,для этого домножим знаменатель каждой дроби на выражение сопряжённое знаменателю и получим:

$\frac{5}{3+\sqrt{6} } + \frac{5}{3- \sqrt{6} }= \frac{5*(3- \sqrt{6})+5*(3+ \sqrt{6} )}{(3+ \sqrt{6})*(3- \sqrt{6}) }= \frac{15-5 \sqrt{6} +15+5 \sqrt{6} }{9-6}= \frac{30}{3}=10$

Теперь нам необходимо сравнить: 

10 и √101

Дальше нужно  или извлечь квадратный корень,или возвести в квадрат.
101-число простое.А корень из простого числа иррационален ,извлекая корень из простого числа,мы будем получать бесконечную дробь (√101=10,049875....)
В данном случаем будет проще будет выбрать второй вариант-возвести в квадрат.
Сравним:
10² и (√101) ²
100 и 101
100<101
Получается,что:

$\frac{5}{3+\sqrt{6} } + \frac{5}{3- \sqrt{6} } \ \textless \ 101$

Answer 2

Попытаюсь угадать правильный вариант. Если данное выражение записано в строчку, то судя по всему, корень из 6 "уходит", а остаётся дробь $\frac{5}{3} + \frac{5}{3} = \frac{10}{3}$.
Итак, надо сравнить данную дробь и корень из 101. Это записывается на языке математики так:

$\frac{10}{3}$∨$\sqrt{101}$
Здесь вот эта закорючка в центре показывает, что вместо неё должен стоять один из знаков(больше или меньше). В конце мы его выставим.
Дальше работаем с этой сравнимостью.

Мы можем запросто перебрасывать слагаемые из одной части в другую, умножать и делить на положительные числа, в общем, представить, что вместо закорючки стоит знак равенства и делать обычные вещи, к которым мы всегда привыкли. Мы сделаем следующее - возведём обе части в квадрат. Делали же мы такое с равенствами? Делали. В уравнениях, например. Здесь это очень хороший шаг, поскольку мы можем этим действием избавиться от корня в правой части. Что получим? Числа. А их мы можем спокойно сравнивать. Делаем это.

$\frac{100}{9}$ ∨$101$
Что же у нас всё таки больше? Понятно, что 101. Значит, правая часть будет больше левой. Так что,
$\frac{10}{3} \ \textless \ \sqrt{101}$
Ещё раз, почему мы это сделали? Потому что в последней сравнимости мы поставили знак <(100/9 заведомо меньше, чем 101). А какой знак поставили в последнем выражении, такой и в основном.

Это был наиболее простой случай. В более сложных помимо возведения в квадрат приходится делать что-то ещё. Но цель одна - с корнями нам не хочется работать, так что будем сравнивать те же выражения, но без корней. После того, как мы дойдём до такого выражения, какое у нас в конце получилось, мы с чистой совестью ставим уже понятно какой знак, такой же знак и будет стоять в выражениях с корнями. Как делать всё это, непростой вопрос. Нет приёмов на все случаи жизни, на то она и математика. Если будут вопросы, обращайтесь.