Question

6. Найдите первообразную F(x) функции y=f(x), график которой проходит через точку M(a; b):
4) f(x) = 2 / sin^2x + 1 , M (Пи/ 4 ; Пи/4).
8. Найдите общий вид первообразных для функции:
1) f(x) = 9x^2 + sin3x;
2) f(x) = 12x^3 - cos4x;
3) f(x) = cos2x - 1/ корень из 2x - 3 + 2;
4) f(x) = 1 / корень из 5 - 2х + sin5x + 1.

Answer 1

4) f(x) = 2 / sin^2x + 1 , M (Пи/ 4 ; Пи/4).
Сначала найдём общий вид первообразных:
F(x) = -2Ctgx + x + C.  теперь надо найти С
π/4 = -2*Сtgπ/4 + π/4 + C
π/4 = -2*1 + π/4 + C
π/4 = -2 + π/4 + C
C = 2
Ответ: F(x) = -2Ctgx + x + 2
1) f(x) = 9x^2 + sin3x; 
F(x) = 9x³/3 - 1/3*Cos3x + C = 3x³ - 1/3*Cos3x +C
2) f(x) = 12x^3 - Cos4x; 
F(x) = 12x^4/4 -1/4Sin4x + C = 3x^4 - 1/4*Cos4x +C
3) f(x) = cos2x - 1/ корень из 2x - 3 + 2; 
F(x) = 1/2*Sin2x -1/2*2√(2x - 3) + 2x + C= 1/2*Sin2x -√(2x - 3) + 2x + C
4) f(x) = 1 / корень из 5 - 2х + Sin5x + 1.
F(x) = -1/2*2√(5 -2x) -1/5*Cos5x + x + C =
= -√(5 -2x) -1/5*Cos5x + x + C