Определим вид треугольника ABC:
![BC^2+AB^2=4^2+(4\sqrt{3})^2=16+48=64\\AC^2=8^2=64\\AC^2=BC^2+AB^2](https://tex.z-dn.net/?f=BC%5E2%2BAB%5E2%3D4%5E2%2B%284%5Csqrt%7B3%7D%29%5E2%3D16%2B48%3D64%5C%5CAC%5E2%3D8%5E2%3D64%5C%5CAC%5E2%3DBC%5E2%2BAB%5E2)
Следовательно ΔABC прямоугольный ∠B = 90°
Найдем площадь ΔABC как полупроизведение катетов:
![S_{ABC}=\frac{AB*BC}{2}=\frac{4\sqrt{3}*4}{2}=8\sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7BABC%7D%3D%5Cfrac%7BAB%2ABC%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B4%5Csqrt%7B3%7D%2A4%7D%7B2%7D%3D8%5Csqrt%7B3%7D)
Т.к. D - середина стороны AC, то BD - медиана, которая делит ΔABC на два равновеликих треугольника ⇒
![S_{ABD}=S_{BDC}=\frac{1}{2}S_{ABC}=\frac{1}{2}*8*\sqrt{3}=4\sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7BABD%7D%3DS_%7BBDC%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DS_%7BABC%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2A8%2A%5Csqrt%7B3%7D%3D4%5Csqrt%7B3%7D)
Катет BC равен половине гипотенузы AC ⇒ ∠BAC = 30°
Т.к. точка D - середина гипотенузы, то она является центром описанной окружности и BD = AD, а следовательно ΔABD равнобедренный и ∠ABD = ∠BAC = 30°
Расстояние от точки A до прямой BD равно длине перпендикуляра AH, опущенного из этой точки на прямую BD и находится из прямоугольного ΔABH:
![AH=AB*\sin{\widehat{ABH}}=4\sqrt{3}*\frac{1}{2}=2\sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=AH%3DAB%2A%5Csin%7B%5Cwidehat%7BABH%7D%7D%3D4%5Csqrt%7B3%7D%2A%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3D2%5Csqrt%7B3%7D)