60) MNKP - равнобедренная трапеция. МР=KN , R(вписан)=OE=5, ∠PMN=∠KNM=α=45° .
Так как окружность вписанная, то должно выполняться условие: MP+NK=MN+PK (сумма боковых сторон = сумме оснований).
Тогда средняя линия трапеции 
.
Высота трапеции РН⊥MN , обозначим h=PH=2R=10.
Рассм. ΔМРH: ∠РНМ=90° , ∠РМН=45° ⇒ ∠МРН=90°-45°=45° ⇒ ΔМРН - равнобедренный ⇒ РН=МН=10, МР=h/sinα (α=45°) , MP=10/(√2/2)=10√2 .
Или:
61) ABCD - трапеция , ∠D=∠C=90° , R(вписан)=OK=4 .
Высота трапеции ВН=2R=CD=8 , AD-BC=AD-DH=AH , AH=6 ,
ΔABH: по теореме Пифагора АВ=√(8²+6²)=√100=10.
Cумма оснований трапеции = сумме её боковых сторон, т.к. в трапецию вписана окружность, тогда СD+АВ=AD+CB=8+10=18 .
Р(ABCD)=CD+CB+AB+AD=18+18=2*18=36 .
Площади находится по этой формуле: (Р1+Р2)/2 * L , где Р1 и Р2 - периметры оснований, L апофема. высота одной из граней.
Высота равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу, то есть
катеты далее находишь, например, по теореме Пифагора из маленьких треугольников, созданных высотой, катетами и из проекциями.
Ну как у всех все сложно.
Если провести высоту к этой заданной стороне а, то она делит её на два прямоугольных треугольника - один из них равнобедренный (где угол пи/4), другой - с углом пи/6.
Если отрезок стороны а в первом - равнобедренном - треугольнике обозначить х, то и высота к стороне а будет х, при этом из второго треугольника a - x = x<span>√3;</span>
Осюда х = а/(<span>√3 + 1) = (a/2)*(<span>√3 - 1)</span>; </span>
<span>и площадь S = a*x/2 = (a^2/4)*(<span>√3 - 1)</span>;</span>
Если у одного треугольника известны гипотенуза c и катет a, то 2-ой катет
b = √(c^2 - a^2)
То есть он тоже известен.
У 2-го треугольника гипотенуза и катет такие же, значит и 2-ой катет тоже.
А раз у двух треугольников все стороны равны, то и треугольники равны.
