Question

Напишите не сложное, но хорошее и краткое решение, пожалуйста!
Точка А ₁ лежит на стороне ВС треугольника АВС, точка С ₁ - на стороне АВ
известно что АС₁ : С₁В = 5 : 2 и ВА₁ : А₁С = 2 : 1
а) Прямая А₁С₁ пересекает прямую АС в точке К. Чему равно отношение СК : АС ?
б) Прямые АА₁ и СС₁ пересекаются в точке О. Чему равно отношение АО : ОА₁ и СО : ОС₁ ?

Answer 1

А) По теореме Менелая для треугольника АВС и секущей С1К:
(АС1/С1В)*(ВА1/А1С)*(СК/КА)=1.
Подставим известные значения:    (5/2)*(2/1)*(СК/КА)=1.
Отсюда  СК/КА=1/5. Тогда АК=5СК.АС=АК-СК=4СК.
СК/АС=1/4.  Это ответ.
б) По Менелаю в треугольнике АКС1 и секущей СВ:
(АС/СК)*(КА1/А1С1)*(С1В/ВА)=1, подставив известные значения:
(4/1)*(КА1/А1С1)*(2/7)=1.
(КА1/А1С1)=7/8.
По Менелаю в треугольнике СС1К и секущей АА1:
(КА1/А1С1)*(С1О/ОС)*(СА/АК)=1, подставив известные значения:
(7/8)*(С1О/ОС)*(4/5)=1.
С1О/ОС=40/28=10/7.
Или   СО/ОС1=7/10. Это ответ.
По Менелаю в треугольнике АА1К и секущей СС1:
(КС/СА)*(АО/ОА1)*(А1С1/С1К)=1, подставив известные значения:
(1/4)*(АО/ОА1)*(8/15)=1.
Отсюда  АО/ОА1=15/2. Это ответ.