Одной из первых аксиом геометрии, относящейся к взаимному расположению точек и прямых на плоскости, является аксиома о том, что через любые две точки плоскости проходит единственная прямая.
Сначала рассмотрим задачи, идущие с нарастанием сложности.
1. Сколько прямых проходит через различные пары из трёх точек, не лежащих на одной прямой?
image
Ответ: 3
2. Сколько прямых проходит через различные пары из четырех точек, три из которых не лежат на одной прямой?
image
Ответ: 6
3. Сколько прямых проходит через различные пары из пяти точек, три из которых не лежат на одной прямой?
image
Ответ: 10
Далее, перейдём к более сложному варианту:
4. Сколько прямых проходит через различные пары из n точек, три из которых не лежат на одной прямой?
Решение.
Пусть A1, …, An – n точек, три из которых не лежат на одной прямой. Для построения таких точек достаточно отметить их на окружности.
image
Выясним, сколько прямых проходит через точку A1 и оставшиеся точки. Так как число оставшихся точек равно n–1 и через каждую из них и точку A1 проходит одна прямая, то искомое число прямых будет равно n–1.
Заметим, что рассуждения, проведённые для точки A1, справедливы для любой точки. Поскольку всего точек n и через каждую из них проходит n–1 прямая, то число посчитанных прямых будет равно n(n–1). Так как, при указанном выше подсчете мы каждую прямую посчитали дважды и поэтому число прямых, проходящих через различные пары из n данных точек, равно n(n−1)2.
В заданном случае n=27. Подставив значение в формулу получим:
