с
Треугольники ABC и DEF вписаны в одну и ту же окружность. Доказать, что равенство их периметров равносильно условию sin A + sin B + sin C = sin D + sin E + sin F.
<em>Доказательство.</em>
Рассмотрим треугольник ABC. Согласно теореме синусов
AB/sin C = BC/sin A = AC/sin B = 2R или
sin C/AB = sin A/BC = sin B/AC = 1/(2R).
sin C = AB/(2R); sin A = BC/(2R); sin B = AC/(2R).
sin A + sin B + sin C = (BC + AC + AB) / (2R) = P1/(2R).
sin A + sin B + sin C = P1/(2R), где P1 – периметр треугольника ABC.
Аналогично, из треугольника DFE имеем:
sin D + sin E + sin F = (EF + DF + DE) / (2R) = P2/(2R), где P2 – периметр треугольника DFE .
Легко видеть, что если P1 = P2, то sin A + sin B + sin C = sin D + sin E + sin F и наоборот.
Задача 2.
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Трапеция ABCD угол A -прямойBC=5AD=17СD=13проводим высоту CH к AD и она отсекает на AD отрезок равный BC, т.е. AH=5треугольник HCD-прямоугольныйHD=AD-AH=13по теореме пифагора CH=5S=(a+b)*h/2<span>S=55</span>
Заметим, что ΔВЕС=ΔDMA. Они равны по двум углам и стороне между ними: ∠CBE=∠ADM (по условию), ∠AMD=∠BMD=∠BED=∠BEC (т. к. MBED - параллелограмм), BE=DM (т. к. BEDM - параллелограмм). Значит <u>BC = DA</u>, а также EC = MA. BM = DE, т. к. BEDM - параллелограмм. CD = ED - EC = MB - MA = AB, т. е. <u>CD = AB</u>. CD = AB, BC = DA, значит ABCD - параллелограмм по равенствам противоположных сторон.