Question

39 баллов
Найти область определения функции
1)
$y = \frac{1}{ x\ - 12}$
2)
$y = \sqrt[12]{5 - x}$
3)
$y = \frac{1}{ \sqrt[4]{x {}^{2} } - 11x + 10}$
​

Answer 1

Решение приложено...

Answer 2

$\displaystyle 1. \ y=\frac{1}{x-12}$

Ограничение только на неравенство нулю знаменателя:

$x-12 \neq 0 \Rightarrow x \neq 12 \Rightarrow \boxed{x \in(-\infty; 12)\cup (12;+\infty)}$

$\displaystyle 2. \ y=\sqrt[12]{5-x}$

У нас корень четной степени, а значит, ограничением является неотрицательность подкоренного выражения:

$5-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5 \Rightarrow \boxed{x\in(-\infty; 5]}$

По поводу 3-его у меня сомнения в правильности записи условия:

если условие такое, как записано, то есть

$y= \dfrac{1}{\sqrt[4]{x^2}-11x+10}$, то ограничение лишь на неравенство нулю знаменателя:

$\sqrt[4]{x^2}-11x+10 \neq 0; \sqrt[n]{x^2}=\sqrt[\frac{n}{2}]{|x|}$

В данном случае получаем:

$\sqrt{|x|}-11x+10\neq 0;$

Рассматриваем 2 случая:

$\displaystyle 1) x\geq 0: \ \sqrt{x}=t; t\geq 0; x=t^2; x\geq 0 \Rightarrow x=t^2 \Rightarrow t-11t^2+10\neq 0; \\ 11t^2-t-10\neq 0; \ (11-1-10=0) \Rightarrow \left [ {{t \neq 1} \atop {t \neq -\frac{10}{11} <0}} \right. \Rightarrow t \neq 1 \Rightarrow \\ \Rightarrow \sqrt{x} \neq 1 \Rightarrow x \neq 1; \\ 2)x<0: \sqrt{-x}=t; t\geq 0;x<0 \Rightarrow -x=t^2\Rightarrow t+11t^2+10 \neq 0 \\ D=1-4\cdot 1 \cdot 10<0 \Rightarrow t\in \varnothing \Rightarrow x\in \varnothing$

То есть $x \neq 1$

Но я сильно сомневаюсь, что там не все под корнем, рассмотрим этот случай:

$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt[4]{x^2-11x+10} } \Rightarrow \left \{ {{x^2-11x+10 \geq 0} \atop {x^2-11x+10\neq 0}} \right. \Rightarrow x^2-11x+10>0; \\ x^2-10x-x+10>0; x(x-10)-(x-10)>0; (x-10)(x-1)>0$

Чтобы решить неравенство $(x-1)(x-10)>0$ воспользуемся методом интервалов, нули уже нашли $x=1$ и $x=10$, имеем +-+ на промежутках и $\boxed{x\in(-\infty;1)\cup(10;+\infty)}$