Да, такая ситуация возможна. С этой интересной математической задачей я когда-то познакомился, читая детскую энциклопедию "Аванта+", том "Математика" (11-й).
Среди пяти человек может быть такой случай, когда не найдётся ни тройки попарно знакомых (друзей), ни тройки попарно незнакомых. Чтобы понять, как такое возможно, посмотрите прилагающийся рисунок.
У нас пять человек: A, B, C, D, E. На рисунке отношения между ними обозначены чёрными и красными отрезками. Чёрный отрезок означает, что эти два человека друг с другом знакомы (дружат), а красный — что не знакомы.
Чтобы отыскать тройку попарно знакомых или же тройку попарно незнакомых, нам нужен либо чёрный треугольник, либо красный, причём все три его вершины должны обозначать конкретных людей, а значит, должны быть обозначены зелёными буквами. Но мы видим, что на рисунке ни одного такого треугольника не имеется. Есть красные треугольнички, но у каждого из них только одна вершина обозначена буквой, — значит, они нам не годятся.
Вывод: среди пяти человек может не быть ни трёх взаимно знакомых друг с другом, ни трёх взаимно незнакомых. Так что, чтобы гарантированно имелась хотя бы одна из подобных двух троек, людей должно быть как минимум шестеро. (Доказать, к сожалению, пока не берусь.)