Применены свойства степени и арифметического квадратного корня
2*log₂x<2-log₂(x+3)
log₂x²+log₂(x+3)<2
log₂(x² *(x+3))<2. 2=log₂2²=log₂4
log₂(x³+3x²)<log₂4
a=4, a>1 знак неравенства не меняем
ОДЗ:
![\left \{ {{x\ \textgreater \ 0} \atop {x+3\ \textgreater \ 0}} \right. \left \{ {{x\ \textgreater \ 0} \atop {x\ \textgreater \ -3}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Bx%5C+%5Ctextgreater+%5C+0%7D+%5Catop+%7Bx%2B3%5C+%5Ctextgreater+%5C+0%7D%7D+%5Cright.+%0A%0A+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Bx%5C+%5Ctextgreater+%5C+0%7D+%5Catop+%7Bx%5C+%5Ctextgreater+%5C+-3%7D%7D+%5Cright.+)
x∈(0;∞)
x³+3x²<4
x³+3x²-4<0
x=1, x=-2 корни уравнения x³+3x²-4=0
(x-1)*(x+2)*(x+2)<0
метод интервалов:
- - +
----------(-2)-------------(0)------------->x
x∈(-∞;-2)∪(-2;0)
учитывая ОДЗ (x>0), получим:
решений нет
Найдем точки экстремума
![y'=-sinx=0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D-sinx%3D0)
![x= \pi k](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D+%5Cpi+k)
На промежутке (
![0; \pi +2 \pi k](https://tex.z-dn.net/?f=0%3B++%5Cpi+%2B2+%5Cpi+k)
) функция убывает (необходимо решить неравенство
![y'<0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3C0)
)
На промежутке (
![\pi +2 \pi k; 2 \pi k](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cpi+%2B2+%5Cpi+k%3B+2+%5Cpi+k)
) функция возрастает
Рассмотрим данный промежуток.
![f( \frac{ \pi }{6} )= \frac{ \sqrt{3} }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=f%28+%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B6%7D+%29%3D+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B3%7D+%7D%7B2%7D+)
- наибольшее
![f( \frac{5 \pi }{3} )= \frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=f%28+%5Cfrac%7B5+%5Cpi+%7D%7B3%7D+%29%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+)
![f( \pi )=-1](https://tex.z-dn.net/?f=f%28+%5Cpi+%29%3D-1)
-наименьшее
......................................................................................................