Найдем ВС по теореме синусов
ВС/sinα=AB/sinC
BC=AB*sinα/sin90°=c*sinα
∡В=90-∡α,
по т. Пифагора АС=√(с²-ВС²)=√(с²-с²*sin²α)=√(c²(1-sin²α))=c√cos²α=c*cosα.
1. Пусть x и y - искомые углы. Известно, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам, то есть x+y=90. Из условия следует, что x=y+26. Подставив в первое уравнение, получим y+26+y=90 ⇒ 2y=90-26 ⇒ 2y=64 ⇒ y=32, x=58. Значит, углы равны 58 и 32 градусам.
2. В треугольнике CBL угол BLC равен 55 градусам (это угол между биссектрисой и катетом из условия). Угол BCL в этом трегуольнике прямой, тогда третий угол - CBL - равен 180-55-90=35 градусам. Так как угол CBL - половина угла CBA, то угол CBA - острый угол B треугольника ABC равен 35+35=70 градусам. Тогда второй острый угол равен 90-70=20 градусам.
3. Из условия следует, что в треугольниках соответственно равны два катета. Так как между равными катетами треугольников лежат равные прямые углы, эти трегуольники равны по двум сторонам и углу между ними.
4. Возможны два случая - либо каждая сторона равна 2, либо одна сторона равна 1, другая равна 3. В первом случае третья сторона треугольника равна 1,2 или 3, так как иначе не выполняется неравенство треугольника - сумма меньших сторон должна быть больше большей стороны. Тогда периметр равен 5, 6 или 7. Во втором случае третья сторона треугольника должна быть равна либо 1, либо 3, чтобы треугольник был равнобедренным, но треугольника со сторонами 1,1,3 не существует, тогда возможен только вариант, когда равные стороны равны 3. Периметр будет равен 7. Таким образом, существует 4 возможных решения и 3 возможных значения периметра.
Пусть трапеция АБСД, О-точка пересечения диагоналей, К- точка пересечения продолжений боковых сторон. Проведем через точку О отрезок МН параллельный большему основанию АД.
Достаточно доказать , что ОМ=ОН, тогда КО -луч на котором лежит медиана треугольника КАД к основанию АД. (Медиана,как известно, - геометрическое место точек , которые делят пополам отрезки заключенные между сторонами КА и КД и параллельные АД).
Докажем , что ОМ=ОН. Рассмотрим Треугольники БАД и БМО.
Они , очевидно подобны и коэффициент подобия равен альфа =отношению высот этих тпеугольников.
Т.е МО=альфа*АД. Но тоже самое можно написать и для треугольников
САД и СОН. Получим ОН=альфа * АД
Значит ОМ=ОН, что и доказывает утверждение.
Поясняю, что такое альфа : альфа -коэффициент подобия. Здесь: отношение высоты треугольника БМО к высоте треугольника БАД. Понятно, что у треугольников СОН и САД коэффициент подобия такой же, так как высоты у них такие же.
Т.к. AB=BC, то данный треугольник ABC - равнобедренный, где AC - основания.
Тогда медиана, проведённая к основанию, является и высотой, и биссектрисой.
По теореме Пифагора медиана равна:
BM = √95²-(1/2*114)² = √95²-57² = √9025-3249 = √5776 = 76.
В полученном четырехугольнике АВСД АС и ВД являются диагоналями, которые в точке пересечения делятся пополам. И такой четырехугольник, у которого диагонали делятся пополам, является параллелограммом.