Question

Пусть точки C1 и A1 сторон AB и BC треугольника ABC соответственно выбраны так, что AC1:C1B=2:5, а BA1:A1C=6:1. Отрезок C1A1 пересекает медиану BM треугольника в точке N. Найдите отношение BN:nm

Answer 1

Это задача на теорему Менелая.
(AC1/C1B)*(BA1/A1C)*(CB1/B1A) = 1; B1 - точка пересечения C1A1 и AC; вообще то тут стоит -1; но про ориентацию отрезков в данном случае можно забыть.
Пусть B1C = y; B1A = x;
(2/5)*(6/1)*y/(x + y) = 1; Это применена теорема Менелая к треугольнику ABC.
x + y = (12/5)*y; x = (7/5)*y; AM = MC = x/2 = (7/10)*y; MB1 = y + x/2 = (17/10)*y;
Теперь теорема Менелая применяется к треугольнику ABM (можно и к CBM);
(AC1/C1B)*(BN/NM)*(MB1/B1A) =1;
(2/5)*(BN/NM)*(17/10)/(12/5) = 1;
BN/NM = 60/17;

Для тех, кто не знаком с теоремой Менелая (которая доказывается элементарно), есть такой вариант решения (коротко)
Если провести параллельные AC прямые через C1 и A1, то стороны и медиана разобьются на куски в пропорциях 5:1:1, считая от вершины B. 
Получилась трапеция с основаниями (5/7)*x и (6/7)*x; x = AC; в которой C1A1 - диагональ. Она делит заключенный между "основаниями" кусок медианы в пропорции 5/6, считая от меньшего.
То есть, если медиана m, то между основаниями (1/7)*m; и эта "седьмушка" делится на куски (5/11)*(1/7)*m и (6/11)*(1/7)*m;
нужное отношение
BN/NM = ((5/7)*m + (5/11)*(1/7)*m)/((1/7)*m + (6/11)*(1/7)*m) = 60/17