Question

Помогите пожалуйста, с обьяснением!

Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равняется 1 . И надо посчитать вектор AD*CD

И как правильно посчитать угол этого шестиугольника: 1) 180(6-2)=6x
или же 2) 360:6 ????

Answer 1

См. рис1:

Для вычисления суммы углов выпуклого N-многоугольника нужно использовать формулу $180^0*(N-2)$

Треугольник ABC состоит из ОДНОГО треугольника, значит сумма всех его углов равна $180^0*1=180^0*(3-2)$

Четырехугольник DEFG состоит из ДВУХ треугольников, значит сумма всех его углов равна $180^0*2=180^0*(4-2)$

Пятиугольник MNOPQ состоит из ТРЕХ треугольников, значит сумма всех его углов равна $180^0*3=180^0*(5-2)$

Шестиугольник RSTUVW состоит из ЧЕТЫРЕХ треугольников, значит сумма всех его углов равна $180^0*4=180^0*(6-2)$

........

N-угольник состоит из N - 2 треугольников, значит сумма всех его углов равна $180^0*(N-2)$ (строго доказываеться с помощью метода математической индукции)
------------------------------------------------

Теперь сама задача см. Рис. 2
По скольку 6-угольник ABCDEF правильный, то $\vec{CD}=\vec{AF}$
также $AB=BC=CD=DE=FE=EA=1$

Находить скалярное произведение $\vec{CD}*\vec{AD}=\vec{AF}*\vec{AD}$ будем за опредилением через угол:
$\vec{AF}*\vec{AD}=|\vec{AF}|*|\vec{AD}|*cos(\angle FAD)=AF*AD*cos(\angle FAD).$

Как видим, нам нужно найти величину угла $\angle FAD$ и длину стороны $AD$.

(1) $\angle FAD$:

угол правильного 6-угольника равен: $\frac{180^0*(6-2)}{6}=120^0$

диагональ AD разделяет 6-угольник пополам, и потому угол $\angle FAD=\frac{1}{2}*120^0=60^0$

(2) $AD$:
для нахождения AD найдем сначала DF за теоремой косинусов в треуг. FED:
$DF^2=EF^2+ED^2-2*EF*ED*cos(\angle FED)\\\\ DF^2=1^2+1^2-2*cos(120^0)\\\\ DF^2=2-2*(-\frac{1}{2})=3\\\\ DF=\sqrt{3}$

также из треуг. FED найдем угол $\angle EFD$

треуг. FED равнобедренный, по этому $\angle EFD=\frac{180^0-\angle FED}{2}=\frac{180^0-120^0}{2}=30^0$

тогда угол $\angle DFA=\angle EFA-\angle EFD=120^0-30^0=90^0$

из треуг. DFA за теор. Пифагора:
$DA=\sqrt{DF^2+FA^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{4}=2$

------------------------\\
тогда:
$\vec{CD}*\vec{AD}=AF*AD*cos(\angle FAD)=\\\\ =1*2*cos(\angle 60^0)=1*2*\frac{1}{2}=1$

Ответ: 1