Question

Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх
цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме
трёх других из них. Например, интересным является число 6321.
а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность
между которыми равна пяти.
б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между
которыми равна 91?
в) Найдите наименьшее нечётное число, для которого не существует
кратного ему интересного четырёхзначного числа.

Answer 1

а) например, 1236 и 1241.

б) наименьшее из таких двух чисел не может оканчиваться на 9 или иметь в разряде десятков 1, в противном случае в большем числе появился бы 0. Значит, эти числа должны выглядеть так: a b c d и a b+1 c-1 d+1. Из условия следует, что сумма цифр любого интересного числа четная, а суммы цифр этих двух чисел отличаются на (a + b + 1 + c - 1 + d + 1) - (a + b + c + d) = 1 и не могут быть одновременно чётными.

в) 9135 делится на 1, 3, 5 и 7; 1719 делится на 9. Докажем, что не бывает интересных чисел, делящихся на 11.

Признак делимости на 11: число делится на 11, если и только если суммы цифр на чётных и нечётных местах делятся на 11; число a b c d делится на 11, если (a + c) - (b + d) делится на 11.

Поскольку сумма всех цифр четная, a сумма двух цифр не превосходит 18, то a + c = b + d.

Если максимальная из цифр a или c, то она меньше, чем сумма b + d; если она b или d, то, соответственно, меньше a + c. Поэтому максимальная из цифр не может оказаться равной сумме оставшихся цифр.

Ответ. а) 1236 и 1241, б) нет, в) 11