Правильно – НАПЕРЕЧЁТ и НА ПЕРЕЧЁТ.
Язык наш удивительно богат и довольно сложен. Ни одна интернетовская проверка орфографии и пунктуации не способна помочь написать даже небольшой текст грамотно, если человек сам этой грамотностью не обладает. Особую трудность представляют очень похожие слова, относящиеся к разным частям речи, в том случае, когда их надо записать по-разному, но разница заключается всего лишь в наличии или отсутствии малюсенького пробела между В, НА и остальной частью словарной единицы, например:
- вглубь – в глубь;
- вдаль – в даль;
- наверху – на верху.
Вот и наши НАПЕРЕЧЁТ и НА ПЕРЕЧЁТ из этой же категории.
Начну со 2-го, так как первое является производным от него.
Есть существительное ПЕРЕЧЁТ, образованное от глагола ПЕРЕЧЕСТЬ (то есть пересчитать). Как и любая другая словарная единица, относящаяся к этой части речи, оно может употребляться в косвенных падежах с предлогами, а в падеже винительном – с предлогом НА – НА ПЕРЕЧЁТ:
- Все финансовые документы были отправлены бухгалтеру на перечёт.
- Все голубые ели в нашем городе взяты на перечёт.
Справедливости ради скажу, что такое существительное с предлогом НА употребляется в наши дни весьма редко, ибо несколько устарело и было заменено другими: на пересчёт, на проверку, на перепроверку, на аудит, на учёт.
Путём слияния предлога с существительным было образовано наречие НАПЕРЕЧЁТ (то есть целиком, полностью, без исключения), которое пишется слитно:
- Я знаю наперечёт всех генеральных секретарей ООН.
- Иван помнит наперечёт всех русских царей династии Романовых.
Когда это наречие употребляется как сказуемое, оно приобретает значение «немного»:
- Банков в нашем городке наперечёт.
- Денег него, думаю, наперечёт.