Ну скажем так: если нет денег на замену отопления, то и на переделку печки не хватит. Переделывать печь без специалиста все равно, что сломать ее. Специалист мог бы дымоходы так сделать, чтобы она по дому большей площадью шли. Или между комнатами вмонтировать, чтобы обе грелись или три(сколько у вас там комнат). Но переложить печь тоже денег стоит. Ну а так: стенки толще сделать, больше прогреются значит больше тепла. Ну на подтопок наложить кирпичей или емкость с водой как советуют выше.
Для ремонта стен лучше использовать готовую штукатурную смесь. Развести водой до консистенции домашней сметаны и заделать все трещины (предварительно расшить под 45 градусов) и неровности. Для ремонта печи применить раствор на основе глины.
Сварка не ляжет, так как металл истончал и прихватиться будет не к чему. Асбест после первого же обжига (мало того что навоняет) распадется на части и уйдет в порошок. Реально можно заделать глиной с песком. Но надо знать соотношения как на керамику или на кирпич. Иначе растрескается и осыплется. Для верности следует этот глиняный бандаж поместить в этакий металлический хомут, который пусть будет немного больше диаметра трубы. По прикидке сантиметра на 2 вокруг трубы и столько же по высоте. Глину можно заменить смесью гашеной извести, золы из той же печки, гипса или цемента и асбестового наполнителя. Я обычно им плиту шпаклюю - держит намертво.
Печь как живой организм, придется разобрать часть стенки. Проверьте качество раствора под ниже лежащими кирпичами. Обычно для кладки используется глина с песком, так как имеет более высокую термоустойчивость. Можно использовать повторно извлеченный кирпич. Так же для усиления и устранения провалов в будущем можно в шов кладки заложить "катанку", стальную проволоку диаметром 5-6мм.
У самого печка пятиходовка, для усиления крепления дверцы, так же использовал проволоку прикрученную по углам дверцы, после чего закладывал. И еще для усиления всей конструкции используется железный уголок.
Удачного ремонта!
Можно попробовать замазать эти щели глиняным раствором консистенции густого теста. Раствор нужно готовить из толченой просеянной глины, в который можно добавить песок(в зависимости от жирности глины)стекловату или асбест(играют армирующую роль). Есть и другой народный рецепт - смесь равных частей глины и просеянной золы с добавлением небольшого количества соли и воды.
Раствор надо вносить (лучше инъектировать) при прогретом камине и расширенных трещинах, которые предварительно следует увлажнить.