Отнимаем одно уравнение от другого
![4x^2+12xy+9y^2+10x+15y-4ax-6ay+a^2-2a=0\\ (2x+3y)^2+5(2x+3y)-2a(2x+3y)+a^2-2a=0\\ (2x+3y)^2+(2x+3y)(5-2a)+a^2-2a=0 \\ 2x+3y=b\\ b^2+(5-2a)b+a^2-2a=0\\](https://tex.z-dn.net/?f=4x%5E2%2B12xy%2B9y%5E2%2B10x%2B15y-4ax-6ay%2Ba%5E2-2a%3D0%5C%5C+%282x%2B3y%29%5E2%2B5%282x%2B3y%29-2a%282x%2B3y%29%2Ba%5E2-2a%3D0%5C%5C+%282x%2B3y%29%5E2%2B%282x%2B3y%29%285-2a%29%2Ba%5E2-2a%3D0+%5C%5C+2x%2B3y%3Db%5C%5C+b%5E2%2B%285-2a%29b%2Ba%5E2-2a%3D0%5C%5C+)
Получили квадратное уравнение
![b^2+(5-2a)b+a^2-2a=0\\ D \geq 0\\ D=(5-2a)^2-4*(a^2-2a) \geq 0 \\ a \in (-\infty; \frac{25}{2}]](https://tex.z-dn.net/?f=+b%5E2%2B%285-2a%29b%2Ba%5E2-2a%3D0%5C%5C+D+%5Cgeq+0%5C%5C+D%3D%285-2a%29%5E2-4%2A%28a%5E2-2a%29+%5Cgeq+0+%5C%5C+a+%5Cin+%28-%5Cinfty%3B+%5Cfrac%7B25%7D%7B2%7D%5D)
Рассмотрим любую из прямых
![2x+3y = \frac{2a-5+/-\sqrt{25-12a}}{2}\\](https://tex.z-dn.net/?f=2x%2B3y+%3D+%5Cfrac%7B2a-5%2B%2F-%5Csqrt%7B25-12a%7D%7D%7B2%7D%5C%5C+)
вторую можно не рассматривать , так как они симметричны относительно друг - друга
![\left \{ {{2x+3y = \frac{2a-5+\sqrt{25-12a}}{2}\\} \atop {9x^2-6xy+y^2+6x-13y+3=0}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B2x%2B3y+%3D+%5Cfrac%7B2a-5%2B%5Csqrt%7B25-12a%7D%7D%7B2%7D%5C%5C%7D+%5Catop+%7B9x%5E2-6xy%2By%5E2%2B6x-13y%2B3%3D0%7D%7D+%5Cright.)
выразив со второе и с первой
![y=0.5*(6x-\sqrt{132x+157}+13) \\ y=\frac{2a-5+\sqrt{25-12a}}{3}-\frac{2x}{3} \\\\](https://tex.z-dn.net/?f=+y%3D0.5%2A%286x-%5Csqrt%7B132x%2B157%7D%2B13%29+%5C%5C+y%3D%5Cfrac%7B2a-5%2B%5Csqrt%7B25-12a%7D%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B2x%7D%7B3%7D+%5C%5C%5C%5C+)
первое , уравнение параболы , которая
![y\ \textgreater \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=y%5C+%5Ctextgreater+%5C+0)
, второе уравнение прямой , то есть необходимое условие для первой пары системы равенств , такое нужно чтобы , прямая была касательная к параболе
подставляя найденные значения в
Получаем
![a=\frac{2-3\sqrt{2}}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=+a%3D%5Cfrac%7B2-3%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B3%7D)
![; a=\frac{3\sqrt{2}+2}{3} ](https://tex.z-dn.net/?f=%3B+a%3D%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B2%7D%2B2%7D%7B3%7D%0A)
, значит все решения идут между этими числами .
2.Теперь со вторым , это фигура второго порядка Эллипс , так как мы выяснили что
![a \leq 12.5](https://tex.z-dn.net/?f=+a+%5Cleq+12.5)
, значит для данной фигуры, при любых значениях выше сказанная прямая будет пересекать.
![a \in [\frac{2-3\sqrt{2}}{3}; \frac{2+3\sqrt{2}}{3}]](https://tex.z-dn.net/?f=++++a+%5Cin+%5B%5Cfrac%7B2-3%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B3%7D%3B+%5Cfrac%7B2%2B3%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B3%7D%5D)