1.
Дано:
![\angle EPM=\angle PMK=90^\circ](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cangle+EPM%3D%5Cangle+PMK%3D90%5E%5Ccirc)
![\angle MEP=\angle MKP=30^\circ](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cangle+MEP%3D%5Cangle+MKP%3D30%5E%5Ccirc)
Требуется доказать:
![EM ||PK](https://tex.z-dn.net/?f=EM+%7C%7CPK)
<span>Доказательство:
</span>
![\Delta EMP , \Delta PMK](https://tex.z-dn.net/?f=%5CDelta+EMP+%2C+%5CDelta+PMK)
являются прямоугольными треугольниками - дано.
Используя теорему у сумме острых углов прямоугольного треугольника, найдем не достающий угол в прямоугольном треугольнике.
Достаточно найти угол лишь в 1 прямоугольном треугольнике, так как
2 пары углов равны между собой - дано.
![\alpha+30^\circ=90^\circ \Rightarrow \alpha=60^\circ](https://tex.z-dn.net/?f=%5Calpha%2B30%5E%5Ccirc%3D90%5E%5Ccirc+%5CRightarrow+%5Calpha%3D60%5E%5Ccirc)
Теперь, запишем недостающие углы:
![\angle EMP=\angle KPM=60^\circ](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cangle+EMP%3D%5Cangle+KPM%3D60%5E%5Ccirc)
Мы знаем что у параллельных прямых, пересеченных 3 линией (в нашем случае это отрезок MP), образуются накрест лежащие углы, и при этом они равны.
Т.к.
![\angle EMP=\angle KPM=60^\circ](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cangle+EMP%3D%5Cangle+KPM%3D60%5E%5Ccirc)
накрест лежащие, и они равны. Т.e. <span>
![EM ||PK](https://tex.z-dn.net/?f=EM+%7C%7CPK)
.
</span>Ч.Т.Д.
2.
ME является гипотенузой прямоугольного треугольника MEP.
Так как:
![\angle MEP=30^\circ](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cangle+MEP%3D30%5E%5Ccirc)
. То катет MP равен половине гипотенузы.
![MP=5](https://tex.z-dn.net/?f=MP%3D5)
Используя неравенство треугольника (прямоугольного), получаем:
1. ![EM\ \textless \ MP+EP \Rightarrow 10\ \textless \ 5+EP \Rightarrow 5\ \textless \ EP](https://tex.z-dn.net/?f=EM%5C+%5Ctextless+%5C+MP%2BEP+%5CRightarrow+10%5C+%5Ctextless+%5C+5%2BEP+%5CRightarrow+5%5C+%5Ctextless+%5C+EP)
.
2. ![EM\ \textgreater \ MP , EM\ \textgreater \ EP \Rightarrow 10\ \textgreater \ 5, 10\ \textgreater \ EP](https://tex.z-dn.net/?f=EM%5C+%5Ctextgreater+%5C+MP+%2C+EM%5C+%5Ctextgreater+%5C+EP+%5CRightarrow+10%5C+%5Ctextgreater+%5C+5%2C+10%5C+%5Ctextgreater+%5C+EP)
Отсюда:
Ч.Т.Д.
3.
Используя теорему о медиане прямоугольного треугольника (Медиана проведенная из вершины прямого угла и падающая на гипотенузу, равна половине гипотенузы)
Мы получаем, что:
![MD=PK/2](https://tex.z-dn.net/?f=MD%3DPK%2F2)
Так как:
![\angle MKP=30^\circ](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cangle+MKP%3D30%5E%5Ccirc)
то противолежащий катет, т.е. MP равен половине гипотенузы.
То, имеем
![MD=MP](https://tex.z-dn.net/?f=MD%3DMP)
.