Question

Параллелограмме ABCD точки E,F,K и M лежат на его сторонах, как показано на рисунке, при этом AE=CK, BF=DM. Доказать, что EFKM - параллелограмм.

Answer 1

УголА=уголС (т.к. АВСД паралелограмм), АЕ=СК, АМ=FC (по условию задачи), значит треугольник AME=треугольнику CFK, значит и EM=FK.


Также легко заметить, что MD=BF и KD=EB (покажем для MD=BF.  Т.к. AD=AM+MD, BC=BF+FC, а FC=AM , значит и  MD=BF, Для KD=EB доказательство аналогично)

Тогда мы получили, что MD=BF ,KD=EB , уголВ=уголD (т.к. АВСД - парал-мм), значит треугольник EBF=треугольнику KDM, значит MK=EK

Таким образом мы получили, что четырехугольник EFKM, у которого противолижащие стороны попарно равны. Теперь докажем что противалежащие стороны у четырехугольника параллельны, тогда мы и докажем что он параллелограмм.

В EFKM проведем диагональ MF, тогда очевидно, что треугольник MKF=треугольнику FEM (по равенству двух сторон+ одна сторона общаяя)Тогда угол FMK=углу MEF , а они внутренние накрест лежащие углы при прямых MK и EF и секущей MF, значит EF параллельна MK.

Теперь аналогичным образом, проводим диагональ EK, также получаем 2 равных треугольника MEK=FKE (тоже по трем сторонам), тогда углы KEM=EKF (а они накрест лежащие при прямых FK и EM при секущей KE), значит FK параллельна EM

Получили что стороны четырехугольника попарно параллельны друг другу, значит это парал-мм.)