Question

1. Найти значение выражения: 1) sin 150° ; cos 315°; 2) cos 5π/ 3; sin 4π/ 3 ; 3) tg 3π /4 ; tg210° . 2. Вычислить а) sin α, c 1. Найти значение выражения:
1) sin 150° ; cos 315°; 2) cos 5π/ 3; sin 4π/ 3 ;
3) tg 3π /4 ; tg210° .
2. Вычислить а) sin α, cos 2α, если cosα= 5/ 13 и
0<α< π/ 2
б) cos α, sin 2α, если sinα= 9 13 и π /2 <α<π
3. Упростить выражение
a) sin(α−β)+sinβ cosα tgα б) sinα sinβ−cos(α−β) ctgβ .
4. Доказать тождество
a) 2sin2α+cos( 3π /2 −α )−sin(π+α) 1+sin⁡( 3π/ 2 −α ) =−2sinα
б) sin 2 (π−α)+cos2α+sin( π /2 −α ) sin2α+cos( 3π /2 −α ) = 1 /2 ctg α ] .
5. Решить уравнение
а) sin 3x cos x = cos 3x sin x − 1
б) cos 5x cos 3x = 1 − sin 5x sin 3x.

Answer 1

1.  $\sin150а=\sin(180а-30а)=\sin30а=0.5$
$\cos315а=\cos(360а-45а)=\cos45а= \frac{1}{ \sqrt{2} }$

$\cos \frac{5 \pi }{3} =\cos\frac{6 \pi - \pi }{3} =\cos(2 \pi -\frac{ \pi }{3} )=\cos\frac{ \pi }{3} =0.5\\ \sin\frac{4 \pi }{3} =\sin \frac{3 \pi + \pi }{3} =\sin( \pi +\frac{ \pi }{3} )=-\sin\frac{ \pi }{3} =- \frac{ \sqrt{3} }{2}$

$tg\frac{3 \pi }{4} =tg \frac{4 \pi -\pi }{4} =tg( \pi -\frac{ \pi }{4} )=-tg\frac{ \pi }{4} =-1\\ tg210а=tg(270а-60а)=ctg60а= \frac{1}{\sqrt{3}}$

2. a) Поскольку 0 < α <π/2 - первая четверть, то все тригонометрические функции в первой четверти положительны. 
Из основного тригонометрического тождества найдем синус.

$\sin \alpha =\sqrt{1-\cos^2\alpha }= \sqrt{1-( \frac{5}{13})^2 } = \frac{12}{13}$

$\cos2 \alpha =\cos^2\alpha -\sin^2\alpha = \frac{25}{169} - \frac{144}{169} =- \frac{119}{169}$

б) π/2 < α < π  - вторая четверть;  косинус во второй четверти отрицателен. Тогда из основного тригонометрического тождества найдем cos a

$\cos\alpha =- \sqrt{1-\sin^2\alpha } =- \sqrt{1-(9/13)^2} =- \sqrt{88/169}$

$\sin2 \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot5/13\cdot(-\sqrt{88/169} )= -\frac{10\sqrt{88}}{169}$

3. 
   $a)~\sin( \alpha - \beta )+\sin \beta \cos\alpha tg\alpha=\sin(\alpha- \beta )+\sin \beta \sin\alpha=\\ \\ =\sin\alpha\cos \beta -\sin \beta \cos \alpha +\sin \beta \sin\alpha$

$b)~ \sin\alpha\sin \beta -\cos(\alpha- \beta )ctg \beta =\\ \\ =\sin\alpha\sin \beta -(\cos\alpha\cos \beta +\sin\alpha\sin \beta )ctg \beta =\\ \\ =\sin\alpha\sin \beta -\cos\alpha\cos \beta ctg \beta +\sin\alpha\cos \beta$

4. Доказать тождество.

$a)~ \frac{2\sin2\alpha+\cos(3 \pi /2-\alpha)-\sin( \pi +\alpha) }{1+\sin(3 \pi /2-\alpha)} = \frac{2\sin2\alpha-\sin\alpha+\sin\alpha}{1-\cos\alpha}$
В примере а) непонятное условие, поэтому я не буду гадать что и где относится.

$b)~ \frac{ \sin^2( \pi -\alpha)+\cos^22\alpha+\sin( \pi /2-\alpha)}{\sin^2 \alpha+\cos(3 \pi /2-\alpha) } = \frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+\cos\alpha}{\sin^2\alpha-\sin\alpha}$

Здесь тоже самое с условием бред!.

5.
   $a)~ \sin3x\cos x=\cos3x\sin x-1\\ \\ \sin3x\cos x-\cos3x\sin x=-1\\ \sin(3x-x)=-1\\ \\ \sin2x=-1\\ \\ 2x=- \frac{\pi}{2} +2 \pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ x=- \frac{\pi}{4}+ \pi k,k \in \mathbb{Z}$

$b)~ \cos5x\cos3x=1-\sin5x\sin3x\\ \\ \cos5x\cos 3x+\sin5x\sin3x=1\\ \\ \cos(5x-3x)=1\\ \\ \cos2x=1\\ \\ 2x=2 \pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \\ x= \pi n,n \in \mathbb{Z}$