Question

Как решаются тригонометрические выражения представленные ниже ?

Answer 1

$23.\quad cos^236-cos^2120-0,5sin18-0,5=\\\\\star \; \; cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}=\frac{1}{2}\cdot (1+cos2x)\; \; \star \star \; \; cos(90-x)=sinx\; \; \star \\\\=\frac{1}{2}(1+cos72)-cos^2(180-60)-0,5sin18-0,5=\\\\=\underline {0,5}+0,5\cdot cos(\underbrace {90-18}_{72})-cos^260-0,5sin18-\underline {0,5}=\\\\=\underline {0,5\cdot sin18}-(\frac{1}{2})^2-\underline {0,5sin18}=-\frac{1}{4}$

$24.\; \; \; sin49\cdot sin11+cos^271+1=\\\\=\frac{1}{2}\Big (cos(49-11)-cos(49+11)\Big )+\frac{1}{2}(1+cos142)+1=\\\\=\frac{1}{2}\cdot cos38- \frac{1}{2} \cdot cos60+ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot cos(180-38)+1=\\\\=\underline { \frac{1}{2}\cdot cos38}-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2}-\underline {\frac{1}{2} \cdot cos38}+1=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1=1\frac{1}{4}=1,25$

$31.\; \; \; \frac{3(cos20-sin20)}{\sqrt2\cdot sin25} =[\; cosx=sin(90-x)\; ]=\frac{3\cdot (sin80-sin20)}{\sqrt2\cdot sin25} =\\\\= \frac{3\cdot 2\cdot sin\frac{70-20}{2}\cdot cos\frac{70+20}{2}}{\sqrt2\cdot sin25} = \frac{3\sqrt2\cdot sin25\cdot cos45}{sin25} =3\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=3\\\\32.\; \; \; \frac{(1+tg10)\cdot cos10}{\sqrt2\cdot sin55} = \frac{cos10+\frac{sin10}{cos10}\cdot cos10}{\sqrt2\cdot sin55} = \frac{cos10+sin10}{\sqrt2\cdot sin55} =$

$=[\; cosx=sin(90-x)\; ]=\frac{sin80+sin10}{\sqrt2\cdot sin55}=\frac{2\cdot sin45\cdot cos35}{\sqrt2\cdot sin55}=\\\\=\frac{2\cdot \frac{\sqrt2}{2}\cdot sin(90-35)}{\sqrt2\cdot sin55} = \frac{\sqrt2\cdot sin55}{\sqrt2\cdot sin55} =1$