Question

Даны точки пересечения параболы с осями координат (3, 0), (-1, 0), (0, -6). Найдите координаты вершины параболы.

Answer 1

Задание. Даны точки пересечения параболы с осями координат (3, 0), (-1, 0), (0, -6). Найдите координаты вершины параболы.
                Решение:
Пусть $y=ax^2+bx+c$ - общий вид квадратичной функции. Подставив х=3; y=0 и x=-1;y=0 и x=0; y=-6, получим систему уравнений $\begin{cases} & \text{ } 0=a\cdot 3^2+b\cdot 3+c \\ & \text{ } 0=a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+c \\ & \text{ } -6=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c \end{cases}$

Получаем $\begin{cases} & \text{ } 9a+3b+c=0 \\ & \text{ } a-b+c=0 \\ & \text{ } c=-6 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } 9a+3b-6=0|:3 \\ & \text{ } a-b=6 \\ & \text{ } c=-6 \end{cases}\Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow \begin{cases} & \text{ } 3a+b=2 \\ & \text{ } a-b=6 \\ & \text{ } c=-6 \end{cases}$

Прибавив первое уравнение со вторым уравнением, получим 
$3a+b+a-b=2+6\\ 4a=8\\ a=2$

Тогда $b=2-3a=2-3\cdot 2=2-6=-4$

$y=2x^2-4x-6$ - найденная наша квадратичная функция. Ее координаты вершины параболы будем искать в следующем виде:
  $m=- \dfrac{b}{2a}= - \dfrac{-4}{2\cdot2} =1$ - абсцисса вершины параболы
$y=2\cdot1^2-4\cdot 1-6=2-4-6=-8.$

(1;-8) - координаты вершины параболы:

Ответ: (1;-8).