Question

Вычеслить радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника. P треуг.=80 м, S=240 м^2

Answer 1

Обозначим катеты х и у.
По условию задачи составим уравнения:
(1/2)*х*у = 240,
х + у + √(х² + у²) = 80.

Из первого уравнения у = 480 / х подставим во второе уравнение.
х + (480 / х) + √( х² + (480 / х)²) = 80.
Приведём к общему знаменателю и корень перенесём в правую часть.
х² - 80х + 480 = √( х⁴ + (480²)
Возведём в квадрат обе части:
х⁴ - 160х³ + 7360х² - 76800х + 480² = х⁴ + 480².
После сокращения получаем уравнение третей степени:
-160х³ + 7360х² - 76800х = 0.
Разделим на -160 и вынесем х за скобки:
х(х² -46х + 480) = 0.
Первый корень х = 0 отбрасываем по ОДЗ.
х² -46х + 480 = 0
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=(-46)^2-4*1*480=2116-4*480=2116-1920=196;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√196-(-46))/(2*1)=(14-(-46))/2=(14+46)/2=60/2=30;
x_2=(-√196-(-46))/(2*1)=(-14-(-46))/2=(-14+46)/2=32/2=16.

Полученные значения и есть размеры катетов.
Гипотенуза равна √(30² + 16²) = √(900 + 256) = √ 1156 = 34 м.

Тогда радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: 34 / 2 = 17 м.

Answer 2

Два радиуса вписанной окружности, с одной стороны, равны (a + b - c), где a,b - катеты треугольника, с другой 2*S/(P:2), что по условию равно 2*240:40 = 12. Периметр a + b + c = 80 по условию. Тогда (a - a) + (b - b) + (c + c) = 80 - 12 = 68, 2с = 68, с = 34. Тогда радиус описанной окружности, равный половине гипотенузы, равен 34:2 = 17 м. 

Ответ: 17 м.