Поскольку DK - биссектриса угла D, то угол ADK равен углу DKA (который равен CDK), и треугольник ADK равнобедренный, AD = AK; а поскольку АK = KВ; то можно обозначить AK = KB = AD = a;
Точно так же легко показать, что BMC равнобедренный треугольник, и BC = CM = MD = b;
считаем, что a > b и заданный МЕНЬШИЙ угол при основании - это угол DAB; (это взаимосвязанные утверждения, потом невозможность другого выбора будет видна из треугольника AEB, в котором из b < a следует ЕВ < AE; а значить и угол напротив меньше)
Периметр равен 3*(a + b) = 30; поэтому a + b = 10;
Если продлить AD, BC и KM до пересечения в точке Е (все три прямые пересекутся в одной точке, и KЕ - медиана АВЕ и подобного ему треугольника CDE), и обозначить DE = y; CE = x; то из подобия EDM и EAK следует
y/b = (y + a)/a;
Аналогично из подобия EMC и EKB
x/b = (x + b)/a;
Кроме того, очевидно и то ,что y/x = a/b; (это НЕ независимое соотношение)
Получается y = a*b/(a - b); x = b^2/(a - b);
Третья сторона треугольника EDC равна 2*b, а косинус угла EDC равен 3/4;
Если применить теорему косинусов, то
x^2 = y^2 + (2*b)^2 - 2*(2*b)*y*(3/4);
или
(b^2/(a - b))^2 = (a*b)^2/(a - b)^2 + 4*b^2 - 3*a*b^2/(a - b);
b^4 = a^2*(a - b)^2 + 4*b^2*(a - b)^2 - 3*a*b^2*(a - b);
(a^2 - b^2) + 4*(a - b)^2 - 3*a*(b - a) = 0;
a + b + 4*a - 4*b - 3*a = 0;
2*a = 3*b;
поскольку a + b = 10; то a = 6; b = 4;
Трапеция имеет боковые стороны 4 и 6 и основания 12 и 8.
Если провести теперь DQ II MK, то QK = DM = 4, AK = 6; то есть AQ = 2;
отсюда DQ^2 = 6^2 + 2^2 - 2*6*2*(3/4) = 22; ясно, что DQ = KM; поэтому
KM = <span>√22;</span>
5. Рассмотрим DFBR:
1)угол 1 = углу 2 (накрест лежащие при прямых BD и FR и секущей DR)
2) угол 3 = углу 4 (накрест лежащие при прямых DF и BR и секущей DR)
=> DFBR - параллелограм => DF||BR => DF=BR что требовалось доказать.
6. Рассмотрим ∆AQR и ∆ARF:
1) AQ=FR (по условию задачи)
2) QR=AF (по условию задачи)
3) AR - общая
=> ∆AQR=∆ARF по 3 признаку равенства треугольников => угол Q = углу F что требовалось доказать.
7. Рассмотрим ∆AKB и ∆CFD:
1) KB=FC (по условию задачи)
2) AB=CD (т.к. о,4дм=4см, 4см=4см)
3) угол B = углу С (т.к. 180°-90°= углу FCD(по правилу смежных углов) 90°=90°)
=> ∆AKB=∆CFD по 1 признаку равенства треугольников => AK=FD что требовалось доказать.
8. Рассмотрим ∆ABC и ∆ACD
1) AB=CD (по условию задачи)
2) угол BAC = углу ACD (по условию задачи)
3) AC - общая
=> ∆ABC=∆ACD по 1 признаку равенства треугольников => угол B = углу D что требовалось доказать.
1.
2X = 3Y - 1 ; X = 1,5Y - 0,5 : X^2 = 2,25Y^2 - 1,5Y + 0,25
2*( X + Y)^2 - 7*( X + Y ) + 3 = 0
2 * ( X^2 + 2XY + Y^2 ) - 7X - 7Y + 3 = 0
2X^2 + 4XY + 2Y^2 - 7X - 7Y + 3 = 0
2 * ( 2,25Y^2 - 1,5Y + 0,25 ) + 4Y*( 1,5Y - 0,5 ) + 2Y^2 - 7*( 1,5Y - 0,5) - 7Y + 3 = 0
4,5Y^2 - 3Y + 0,5 + 6Y^2 - 2Y + 2Y^2 - 10,5Y + 3,5 - 7Y + 3 = 0
Y^2 * ( 4,5 + 6 + 2 ) - Y * ( 3 + 2 + 7 + 10,5 ) + 0,5 + 3,5 + 3 = 0
12,5Y^2 - 22,5Y + 7 = 0
D = 506,25 - 4 * 12,5 * 7 = 506,25 - 350 = 156,25 ; √ D = 12,5
Y1 = ( 22,5 + 12,5 ) : 25 = 1,4
Y2 = ( 22,5 - 12,5 ) : 25 = 0,4
X = 1,5Y - 0,5
X1 = 1,5 * 1,4 - 0,5 = 1,6
X2 = 1,5 * 0,4 - 0,5 = 0,1
Ответ ( 1,6 ; 1,4 ) ; ( 0,1 ; 0,4 )
------------------------------------
