Вероятность получения качественной детали с станка-автомата равна 1-0,25=0,75 (вероятность противоположного события).
По интегральной теореме Лапласа:
![P_n(k_1 \leq k \leq k_2)\approx\Phi(x_2)-\Phi(x_1)](https://tex.z-dn.net/?f=P_n%28k_1+%5Cleq+k+%5Cleq+k_2%29%5Capprox%5CPhi%28x_2%29-%5CPhi%28x_1%29)
где
![\Phi(x)=\displaystyle \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } } \int\limits^x_0 {e^{-t^2/2}} \, dt,~ x_2= \dfrac{k_2-np}{ \sqrt{npq} } ,~~ x_1= \frac{k_1-np}{ \sqrt{npq} }](https://tex.z-dn.net/?f=%5CPhi%28x%29%3D%5Cdisplaystyle++%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%7B2+%5Cpi+%7D+%7D++%5Cint%5Climits%5Ex_0+%7Be%5E%7B-t%5E2%2F2%7D%7D+%5C%2C+dt%2C~+x_2%3D+%5Cdfrac%7Bk_2-np%7D%7B+%5Csqrt%7Bnpq%7D+%7D+%2C~~+x_1%3D+%5Cfrac%7Bk_1-np%7D%7B+%5Csqrt%7Bnpq%7D+%7D+)
![x_1= \dfrac{80-120\cdot075}{ \sqrt{120\cdot0.75\cdot0.25} } \approx -2.11](https://tex.z-dn.net/?f=x_1%3D+%5Cdfrac%7B80-120%5Ccdot075%7D%7B+%5Csqrt%7B120%5Ccdot0.75%5Ccdot0.25%7D+%7D+%5Capprox+-2.11+)
![x_2= \dfrac{100-120\cdot0.75}{ \sqrt{120\cdot 0.75\cdot0.25} } \approx2.11](https://tex.z-dn.net/?f=x_2%3D+%5Cdfrac%7B100-120%5Ccdot0.75%7D%7B+%5Csqrt%7B120%5Ccdot+0.75%5Ccdot0.25%7D+%7D+%5Capprox2.11)
Учитывая то, что функция Лапласа нечетная, то есть
![\Phi(-x)=-\Phi(x)](https://tex.z-dn.net/?f=%5CPhi%28-x%29%3D-%5CPhi%28x%29)
, то искомая вероятность
![P_{120}(80 \leq k \leq 100)\approx\Phi(2.11)-\Phi(-2.11)=0.483+0.483=0.966](https://tex.z-dn.net/?f=P_%7B120%7D%2880+%5Cleq+k+%5Cleq+100%29%5Capprox%5CPhi%282.11%29-%5CPhi%28-2.11%29%3D0.483%2B0.483%3D0.966)
a(a-2)(a+2)=a(a^2-4)=a^3-4a, так як а не розкладається
(4 корень из 6) в квадрате/ 4 = 16*6/4=24