Question

Тригонометрия, даю 20 баллов найти количество различных корней sin3x cos2x=sin5x на промежутке [0|2пи]

Answer 1

Формула
sinα·cosβ=(sin(α+β)-sin(α-β))/2;
sin3x·cos2x=(sin(3x+2x)-sin(3x-2x))/2=(sin5x+sinx)/2
Уравнение принимает вид
(sin5x+sinx)/2=sin5x;
sin5x-sinx=0;
или
2·sin((5x-x)/2)·cos((5x+x)/2)=0;
2sin2x·cos3x=0
sin2x=0                 или        cos3x=0
2x=πk, k∈ Z          или         3x=(π/2)+πn, n∈Z.
x=(π/2)k,  k ∈ Z     или         x=(π/6) +(π/3)n, n ∈ Z

При   k=0    х₁=0
          k=1    x₂=π/2
          k=2    x₃=2π/2=π
          k=3    x₄=3π/2
          k=4    x₅=4π/2=2π
   
          n=0    x₆=(π/6)
          n=1    x₇=(π/6)+(π/3)=π/2= x₂
          n=2    x₈=(π/6)+(2π/3)=(5π/6)
          n=3    x₉=(π/6)+(3π/3)=(7π/6)
          n=4    x₁₀=(π/6)+(4π/3)=(9π/6)=(3π/2)= x₄
          n=5    x₁₁=(π/6)+(5π/3)=(11π/3)

О т в е т.   0;   π/2;  π;  3π/2;  2π;  π/6;  5π/6;  7π/6;  11π/6.