Sin2x+2*cos2x=1
1. sin2x=2*sinx*cosx - формула: синус двойного аргумента
2. cos2x=cos²x-sin²x - формула косинус двойного аргумента
3. 1=sin²x+cos²x - основное тригонометрическое тождество
получим:
Корень из 9 + корень из 8 и корень из 7 + корень из 10
Возводит первое и второе выражение в квадрат
(корень из 9 + корень из 8) в 2 и (корень из 7 + корень из 10) в 2
раскрываем скобки по формуле - квадрат суммы
9+2*корень из 9*8+8 и 7+2*корень из 7*10+ 10
17+ 2 корень из 72 и 17+2 корень из 70
получается первое выражение больше, чем второе
(x^2+y^2)^2010=(xy)^n
при х и у = 1 , наше уравнение очевидно не справедливо ,
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy
видно что x^2+y^2>2xy .но только при x=y => x^2+y^2>=2xy
соответственно если мы возведем левую часть в 2010 степень она будет больше правой, при х не = у
(x^2+y^2)^2010>=(2xy)^2010 , следовательно n>=2010. при х не = у
То есть мы по сути должны для начало решить в целом наше уравнение , показать при каких значениях существует решение!
так как мы сказали раннее что n>=2010, то при n=2010,
(x^2+y^2)^2010=(xy)^2010
x^2+y^2=xy
(x+y)^2-2xy=xy
(x+y)^2=3xy
слева число будет точным квадратом какого то числа , а справа чтобы был квадратом нужно чтобы xy=3, иначе квадрат не получиться, что противоречит выражению стоящему слева!
Следовательно n>2010
Пусть х=y . тогда
(x^2+y^2)^2010=(xy)^n
(2x^2)^2010 =x^(2n)
2^2010*x^4020=x^2n
2^2010=x^(2n-4020)
Так как слева стоит четное числа и как видно в геом прогрессий с знаменателем 2; то справа значит будет тоже четное и х=2^k, где к=1,2,4,8,16,,,
Так как пусть x числа четное 10,12,14 ,,, но не степень двойки тогда она должна делиться на числа 2,4,8,16,32,,, !
2^2010=x^(2n-4020)
2^2010=2^(2n-4020)
n=3015, но наибольшее ли оно , так как
1005=k(n-2010)
то "k" отудого делитель 1005 но так как "k" четное и степень 2 , то это невозможно ,следовательно это оно может равняться только 1!
Значит это будет и наибольшим !
Попробуем при тех же самых х=у найти минимальное! то есть я не уверен и уверен что есть
(x^2+y^2)^2010=(xy)^n
2^2010=x^(2n-4020)
так как было сказано что x=2.4.8.16
1005= k(n-2010)
очевидно решение при n=2011. k=1 так как k>0
отудого x^2=2^2010 => x=2^1005.
Теперь рассмотрим при х>y
(x^2+y^2)^2010=(xy)^n
но так как
x^2+y^2 > 2xy
то есть при разных х , у оно не имеет решений!
P.S в таких задачах главное преобразовать уравнение в более простое, проверить решения при х=у, х>y. Что то заметить и так далее!
