Question

Сколько корней имеет уравнение 48$x^{4}$+32$x^{3}$+1=0

Answer 1

Решение смотрите на фотографии

Answer 2

task/2507839
------------------
Сколько корней имеет уравнение 48x⁴ +32x³+1=0     ?
----------------------------
решение:
48x⁴ +32x³+1=0 ⇔(2x+1)²(12x²-4x+1) = 0 .
(2x+1)²= 0⇒ x= -1/2 ( один двойной (двукратный) корень→x₁= x₂ = -1/2)
---
12x²-4x+1= 0   D/4 =2² -12*1 = -8 = (2√2 i)² ;   i² = -1
x₃ =(1-√2 *i) /6 ,  x₄ =(1+√2 *i) /6  → и пару простых сопряженных корней .           * * *    всего 4 корней (с учетом их кратности) * * *

* * * * * * * P.S * * * * * * *
48x⁴ +32x³ = -1 ;
f(x) =48x⁴+32x³          ООФ : x ∈ (-∞;∞)  
f'(x) =(48x⁴+32x³) ' = 96x²(2x+1) 

f ' (x)     -                     +                    +
--------------[-1/2] -------------- [0]----------------

f(x)     ↓      min           ↑

Функция  f(x)  убывает, если   x ∈ (-∞ ; 1/2 ]
Функция  f(x)  возрастает , если   x∈ [ -1/2 ; ∞)    

min f(x) =f (-1/2) = 48*(-1/2)⁴ +32(-1/2)³= 3 -4 = -1 

если было бы  min f(x) > -1  уравнение не имело бы действительных корней ;
был бы min f(x) < -1 уравнение имело бы 2 действительных корней .