Question

Прошу помочь нужно исследовать функцию и построить график. (По плану)
1) Область определения функции
2) четность или нечетность функции
3) Точки пересечения с осями координат
4) Нахождение производной функции
5) критические точки
6) промежутки возрастания и убывания функции
7) экстремумы функции
8) найти наибольшее или наименьшее значение
9) уравнение касательной к точке x0 = 1
10) Дополнительные точки
11) график
12) область значения функции

ФУНКЦИЯ y(x)=2x+1/x+2

Answer 1

Дана функция y(x)=(2x+1)/(x+2).

1) Область определения функции: х ≠ -2.
2) четность или нечетность функции:
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
\frac{2 x + 1}{x + 2} = \frac{- 2 x + 1}{- x + 2}
\frac{2 x + 1}{x + 2} = - \frac{- 2 x + 1}{- x + 2}
- Нет.
Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
3) Точки пересечения с осями координат.
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
\frac{2 x + 1}{x + 2} = 0.
Решаем это уравнение: 2х + 1 = 0.  х = -1/2.
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2*x + 1)/(x + 2).
\frac{1}{2} \left(0 \cdot 2 + 1\right)
Результат:
f{\left (0 \right )} = \frac{1}{2}
Точка: (0, 1/2)
4) Нахождение производной функции.
y' = 3/(x+2)².
5) критические точки - их нет, так как производная не может быть равна нулю.
6) промежутки возрастания и убывания функции :
функция только возрастающая на всём промежутке определения, так как производная положительна.
7) экстремумы функции - их нет.
8) найти наибольшее или наименьшее значение xmin = -∞, xmax = +∞.
9) уравнение касательной к точке xо = 1.
yкас = y'(xo)*(x-xo) + y(xo).
y'(xo) = 3/((1+2)²) = 3/9 = 1/3.
y(xo) = (2*1+1)/(1+2) = 3/3 = 1.
укас = (1/3)*(х - 1) + 1 = (1/3)х - (1/3)+1 = (1/3)х + (2/3).
10) Дополнительные точки - в приложении.
11) график - в приложении.
12) область значения функции -∞ < x < 2; 2 < x < +∞.