Question

При каких значениях a уравнение (a-1)x^2-2(a+1)x+a-2=0 имеет один корень?

Answer 1

Дано уравнение

$(a - 1) {x}^{2} - 2(a + 1)x + (a - 2) = 0$

Чтобы это уравнение имело ровно один корень, необходимо чтобы его дискриминант был равен 0, поэтому ищем дискриминант и приравниваем его к нулю:

$d = ( - 2(a + 1))^{2} - 4(a - 1)(a - 2) \\ d = 4( {a}^{2} + 2a + 1) - 4( {a}^{2} - 3a + 2) \\ d = 4 {a}^{2} + 8a + 4 - 4 {a}^{2} + 12a - 8 \\ d = 20a - 4$

$d = 0 \\ 20a - 4 = 0 \\ 20a = 4 \\ a = \frac{1}{5}$

Так как при старшем коэффициенте квадратного уравнения стоит параметр, то необходимо проверить при каких а квадратное уравнение упрощается к линейному:

$a-1=0\\a=1$

Значит, при а = 1, наше уравнение сходится к линейному, а так как у линейного уравнения пересечение с осью ОХ всего лишь одно, то это значение также входит

Ответ: при а = 0.2, а = 1.