Question

При каких значениях параметра a система уравнений имеет единственное решение.

Answer 1

{ (x + 1 - a)^2 + (y + 1 - 3a)^2 = a^2
{ x^2 - 4x + y^2 - 10y + 20 = 0
Первое - уравнение окружности с центром A(a-1; 3a-1) и радиусом R1 = а.
Второе уравнение можно преобразовать так:
(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 - 10y + 25) - 25 + 20 = 0
Выделили полные квадраты, теперь приводим подобные:
(x - 2)^2 + (y - 5)^2 - 29 + 20 = 0
(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 9
Это уравнение окружности с центром B(2, 5) и радиусом R2 = 3.
Эти окружности касаются друг друга в трех случаях:
1) Расстояние между центрами равно сумме радиусов.
|AB| = R1 + R2
$\sqrt{(a-1-2)^2+(3a-1-5)^2} = a+3$
(a - 3)^2 +(3a - 6)^2 = (a + 3)^2
a^2 - 6a + 9 + 9a^2 - 36a + 36 = a^2 + 6a + 9
9a^2 - 48a + 36 = 0
3a^2 - 16a + 12 = 0
D/4 = 8^2 - 3*12 = 64 - 36 = 28 = (2√7)^2
a1 = (8-2√7)/3; a2 = (8+2√7)/3

2) Окружность (В, R2) касается внутри окружности (А, R1).
Тогда |AB| = R1 - R2 и R1 > R2, то есть a > 3.
$\sqrt{(a-1-2)^2+(3a-1-5)^2}= a-3$
(a-3)^2 + (3a-6)^2 = (a-3)^2
(3a-6)^2 = 0
3a - 6 = 0
a = 2 < 3, поэтому не подходит.

3) Окружность (A, R1) находится внутри окружности (B, R2).
Тогда |AB| = R2 - R1 и R1 < R2, то есть a < 3
$\sqrt{(a-1-2)^2+(3a-1-5)^2}= 3-a$
(a-3)^2 + (3a-6)^2 = (3-a)^2
(a - 3)^2 = (3 - a)^2, и, если их сократить, то получится, как в случае 2:
(3a-6)^2 = 0
a = 2
Ответ: a1 = (8-2√7)/3); a2 = (8+2√7)/3; a3 = 2