Смотри на картинку.
S∈AB; AS=SB
Q∈DC; DQ=QC
M∈A₁B₁; A₁M=MB₁
Проведём плоскость α через точки S, Q, M это плоскость параллельна (AA₁D₁) по признаку. α∩D₁C₁=N; A₁D₁║MN --> D₁N=NC₁ (по теореме Фалеса).
В общем имеем что квадрат AA₁D₁D равен квадрату SMNQ и они параллельны. Значит SN║AD₁ Напомню, что угол между прямыми сохраняется при параллельном переносе. SQ∩DB=O; SO=OQ как соответственные средние линии равных треугольников (ΔAOD и ΔBDC).
Смотри рисунок.
Через точку O проведём прямую OP (OP║SN), из построение следует, что QP=PN (по теореме Фалеса). Ещё раз угол при параллельном переносе прямых сохраняется.
В общем у нас есть ΔDOP и нам надо найти ∠DOP.
Скажем, что сторона куба равна а.
DB=a*√2 --> DO=a*√2/2
SN=a*√2 --> OP=a*√2/2
P-середина квадрата DD₁C₁C т.к. QN║DD₁ и DQ=QC, и QP=PC.
Значит P∈DC₁ и DP=PC₁
DC₁=a*√2 --> DP=a*√2/2
Получается ΔDOP - равносторонний и угол 60°.
Ответ: 60°.
Пусть один катет-х(м),другой 2х(м)
По теореме Пифагора:
75^2=х^2+2х^2
^2- то есть в квадрате.
5625=х^2+4х^2
х^2=1125
х=15√5-1-ый катет
2-ой катет 2*15√5=30√5
Площадь равнобедренного треугольника равна: S=(1/2)*a²*Sinα, где а - боковая сторона, α - угол между боковыми сторонами.
В нашем случае α = 150°. Sin150=Sin(180-30)=Sin30=1/2.
Итак, S=(1/2)*a²*Sinα = (1/2)*a²*(1/2)=81. Отсюда а=√(81*4)=18.
Ответ: боковая сторона равна 18.
Итак, раз в условии сказано что BD равна стороне DA значит треугольник DВС равносторонний (у ромба все стороны равны). У равностороннего треугольника все углы равны 60 градусам, слудовательно угол СВD = 60 градусам. Поскольку треугольник ОFВ прямоугольный (ОF перпендткуляр к ВС), то значит угол FОВ = 180-90-60=30 градусов. Поскольку угол ВОС прямой, то угол FОС = 90-30 = 60 градусов. Т.к. угол ТОС = FОС, то угол FОТ = 2 * FОС = 2*60=120 градусов.
Если ОF и ОТ перпендикуляры (по условию задачи), значит они равны, следовательно треугольник FОТ - равносторонний. У равностороннего треугольника углы у основания равны. Значит угол ОFТ= углу ОТF и равен (180-120)/2=30 градусов.
Ответ FОТ = 120 градусов, ОFТ= ОТF = 30 градусов
Угол АВС — вписанный угол. Он опирается на дугу АС, заключённую между его сторонами (черт. 330).
Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Это надо понимать так: вписанный угол содержит столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд содержится в половине дуги, на которую он опирается.
При доказательстве этой теоремы надо рассмотреть три случая.
Первый случай. Центр круга лежит на стороне вписанного угла (черт. 331).
Пусть / АВС — вписанный угол и центр круга О лежит на стороне ВС. Требуется доказать, что он измеряется половиной дуги АС.
Соединим точку А с центром круга. Получим равнобедренный /\ AОВ, в котором АО = ОВ, как радиусы одного и того же круга. Следовательно, / А = / В. / АОС является внешним по отношению к треугольнику АОВ, поэтому / АОС = / А + / В (§ 39, п. 2), а так как углы А и В равны, то / В составляет 1/2 / АОС.
Но / АОС измеряется дугой АС, следовательно, / В измеряется половиной дуги АС.
Например, если АС содержит 60° 18', то / В содержит 30°9'.
Второй случай. Центр круга лежит между сторонами вписанного угла (черт. 332).
Пусть / АВD — вписанный угол. Центр круга О лежит между его сторонами. Требуется доказать, что / АВD измеряется половиной дуги АD.
Для доказательства проведём диаметр ВС. Угол АВD разбился на два угла: / 1 и / 2.
/ 1 измеряется половиной дуги АС, а / 2 измеряется половиной дуги СD, следовательно, весь / АВD измеряется 1/2 АС + 1/2СD, т. е. половиной дуги АD. Например, если АD содержит 124°, то / В содержит 62°.
Третий случай. Центр круга лежит вне вписанного угла (черт. 333).
Пусть / МАD — вписанный угол. Центр круга О находится вне угла. Требуется доказать, что / МАD измеряется половиной дуги МD.
Для доказательства проведём диаметр АВ. / МАD = / МАВ— / DАВ. Но / МАВ измеряется 1/2 МВ, а / DАВ измеряется 1/2 DВ. Следовательно, / МАD измеряется1/2 (МВ — DВ), т. е. 1/2 МD. Например, если МD содержит 48° 38'16", то / МАD содержит 24° 19' 8".
Следствия. 1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги (черт. 334, а).
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр,—прямой, так как он опирается на половину окружности. Половина окружности содержит 180 дуговых градусов, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90 угловых градусов (черт. 334, б).
2. Угол, образованный касательной и хордой.
Теорема. Угол, образованный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключённой между его сторонами.
<span>Пусть / САВ составлен хордой СА и касательной АВ (черт. 335). Требуется доказать, что он измеряется половиной СА. Проведём через точку С прямую СD || АВ. Вписанный / АСD измеряется половиной дуги АD, но АD = СА, так как они заключены между касательной и параллельной ей хордой. Следовательно, / DСА измеряется половиной дуги СА. Так как данный / САВ = / DСА, то и он измеряется половиной дуги СА</span>
