Есть у нас в обиходе глагол забыть, который очень часто употребляется с отрицательной частицей не:
мы ведь готовы бесконечно напоминать своим детям, внукам, а то и взрослым родственникам, иногда коллегам, чтобы они не забыли что-то обязательно сделать, куда-то сходить, о ком-то позаботиться, что-либо принести.
Не забудь, что у тебя сегодня тренировка, не забудь сходить в поликлинику, а потом в аптеку за лекарством,
не забудьте полить цветы, не забудьте к приходу родителей сделать уроки, **не забудьте принести книгу и т.п.
ЧТО СДЕЛАЙ(ТЕ)? -- не забудь(те). Это глагол в форме повелительного наклонения, образованный от основы настоящего или будущего (простого) времени глагола забыть.
Основа этого глагола в будущем времени забуд-, от которой и образована рассматриваемая форма повелительного наклонения, оканчивается на согласную букву, на что следует обратить внимание, потому что в этом случае применяется правило о том, что после согласной в форме наклонения повелительного числа единственного пишется мягкий знак -- забудЬ. К этой форме для употребления глагола во множественном числе добавляется окончание этого числа -те, всего лишь добавляется, поэтому мягкий знак перед этим окончанием сохраняется.
Таким образом, правильно написать этот глагол следует с мягким знаком -- забудЬте.