Прежде чем браться за написание "не" вместе или отдельно от всего остального, было бы полезно выяснить, существует ли слово "отгуленный" как таковое, а если нет, что что нам предлагает русский язык и орфографический словарь оного в качестве утешительного приза.
Жизнь сурова, она не оставляет простора для самовыражения желающим писать букву Е чаще, чем разрешает РАН:
Далее заглядываем в святцы с целью узнать, насколько соответствует нормам литературного языка словосочетание отгулять отпуск. Слава Богу, она допускается, но с большой оговоркой - лишь в разговорной форме. Р. ф. - это устная форма проявления литературного языка в спонтанной речи, это не просторечие и ни в коем случае не сленг. Однако на письме отгулянному отпуску делать нечего, он возможен лишь в художественном произведении в прямой речи, как средство создания художественного образа. То есть если персонаж - дирижёр Большого театра, он так не скажет у адекватного писателя, а если герой - сантехник Фурыкин, то вполне может.
Теперь самое время заняться "не".
В русском языке существует трудность в различении отглагольных прилагательных от причастий. Палочка-выручалочка, "лайфхак" грамотного человека - поиск зависимых слов. Если они имеются, то перед нами причастие, с которым "не" пишется раздельно. Однако причастия и деепричастия знамениты тем, что являются самыми поздними частями речи, возникшими в русском языке. Отличительная их особенность - использование в письменной речи. В устной непринуждённой р. они практически не встречаются.
Получается, что "не отгулянный вовремя отпуск" - одновременно и книжное и просторечное выражение? Ситуация, как в том анекдоте про трусы и крестик: нужно либо первое надеть, либо второе снять, то есть определиться в намерениях. Ещё раз: разговорная речь - не просторечие, а форма литературного языка, поэтому у неё есть пределы поблажкам.
С прилагательным проще, при нём нет зависимых слов, внимание следует обратить лишь на наличие/отсутствие противопоставления:
- если противопоставление отсутствует, а к прилагательному можно подобрать синоним без не-, то пишем вместе: "Неотгулянный (предстоящий? бестолковый?) отпуск был темой его печальных раздумий";
- если пр-е имеется, то пишем раздельно: "Не отгулянный отпуск, а траты на ремонт дачи проели дыру в бюджете".