Question

Узлами клетчатой бумаги будем называть точки пересечения вертикальных и горизонтальных прямых. На клетчатой бумаге нарисован квадрат с вершинами в узлах и сторонами, направленными вдоль диагоналей клеток. Каждая сторона квадрата равна по длине 10 диагоналям клеток. Сколько узлов находится внутри квадрата? желательно с решением

Answer 1

Задачу можно решить с помощью формул арифметической прогрессии.
а1=1, а2=3, а3=5, значит разность арифметической прогрессии d=3-1=2.
Рассмотрим ΔАВС. В нём количество членов n=9.
Используя формулу суммы арифметической прогрессии
Sn=(2a1+d(n-1))*n/2 , находим S9=(2*1+2(9-1))*9/2=81.
Так как ΔАВС=ΔADC, то количество узлов в двух треугольниках равно
2*S9=2*81=162.
Осталось найти количество узлов, расположенных на диагонали АС:
a10=a1+d(10-1)=1+2*9=19.
Таким образом, общее количество узлов внутри квадрата равно
2S9+a10=162+19=181.
Ответ: 181.