Question

Два шара массами m1=1 кг и m2=2 кг подвешены на легких жестких стержнях длиной L=1 каждая. между ними вставлена пружина сжатая на величину ∆l=147кН/м.В исходном состоянии стержни вертикальны,а пружина скреплена нитью.на какие углы отклоняться стержни после пережигания нити?

Answer 1

Из геометрических соображений ясно, что если стержень отклоняется на угол α, изменение высоты шарика на конце стержня составляет

$\Delta h = L-L\cos\alpha = L(1-\cos\alpha)$

Поэтому можно уже говорить, что энергия сжатой пружины пошла на увеличение потенциальной энергии шариков

$\frac{k\Delta l^2}{2} = m_1gL(1-\cos\alpha_1)+m_2gL(1-\cos\alpha_2)$

С другой стороны, каждый шарик получает одинаковый по модулю импульс p в силу закона сохранения импульса, и кинетическая энергия шарика переходит в его потенциальную энергию, поэтому

$\frac{p^2}{2m_1} = m_1g(1-\cos\alpha_1)\\ \frac{p^2}{2m_2} = m_2g(1-\cos\alpha_1)\\\\ \frac{m_2g(1-\cos\alpha_2)}{m_1g(1-\cos\alpha_1)} = \frac{m_1}{m_2}\\ \frac{k\Delta l^2}{2} = m_1gL(1-\cos\alpha_1)+m_2gL(1-\cos\alpha_2)$

Решая систему из двух последних строчек найдем что
$m_1g(1-\cos\alpha_1) = \frac{k\Delta l^2}{2}\frac{m_2}{m_1+m_2}\\\\ m_2g(1-\cos\alpha_2) = \frac{k\Delta l^2}{2}\frac{m_1}{m_1+m_2}\\\\ \alpha_1 = \arccos\left(1-\frac{k\Delta l^2}{2g}\frac{m_2/m_1}{m_1+m_2}\right)\\\\ \alpha_2 = \arccos\left(1-\frac{k\Delta l^2}{2g}\frac{m_1/m_2}{m_1+m_2}\right)$