Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, неоднородное.
Найдем сначала однородное уравнение, т.е.
![y''-8y'+15y=0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27-8y%27%2B15y%3D0)
.
Пусть
![y=e^{kx}](https://tex.z-dn.net/?f=y%3De%5E%7Bkx%7D)
, тогда получим характеристическое уравнение вида
![k^2-8k+15=0](https://tex.z-dn.net/?f=k%5E2-8k%2B15%3D0)
По т. Виета:
![k_1=3;\,\,\,\,\,\, k_2=5.](https://tex.z-dn.net/?f=k_1%3D3%3B%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C+k_2%3D5.)
Общее решение однородного уравнения:
![y_{o.o.}=C_1e^{5x}+C_2e^{3x}](https://tex.z-dn.net/?f=y_%7Bo.o.%7D%3DC_1e%5E%7B5x%7D%2BC_2e%5E%7B3x%7D)
Найдем теперь частное решение.
Рассмотрим функцию правой части уравнения
![f(x)=2e^{3x}](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D2e%5E%7B3x%7D)
.
![P_n(x)=2;\,\,\,\,\, \alpha =3;\,\,\,\,\, n=0.](https://tex.z-dn.net/?f=P_n%28x%29%3D2%3B%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C++%5Calpha+%3D3%3B%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C+n%3D0.)
Сравнивая
![\alpha](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Calpha+)
с корнями характеристического уравнения и ,принимая во внимания, что n=0, то частное решение будем искать в виде:
Уч.н. = ![C_0xe^{3x}](https://tex.z-dn.net/?f=C_0xe%5E%7B3x%7D)