Question

Решите уравнениеarcsinx=arccos(корень(1-x))

Answer 1

ОДЗ [0,1]

f(x)=arcsinx-arccos(sqrt(1-x))

$f'(x)=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac1{2\sqrt{x-x^2}}=\dfrac{2\sqrt{x-x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\dots}$

$f'(x)=\dfrac{\sqrt{1-x}(2\sqrt{x}-\sqrt{1+x})}{\dots}$

$2\sqrt{x}-\sqrt{1+x}=0$

$4x=1+x\Leftrightarrow x=1/3$

1/3 - точка минимума. На отрезке [0,1/3] f(x) строго! убывает, [1/3,1] - строго! возрастает.

Но т.к. f(0)=f(1)=0, то других корней, кроме 0 и 1, уравнение не имеет.

 

Ответ: 0, 1.